Хаос. Создание новой науки

Лоренц чувствовал, что должна существовать связь между неповторяемостью атмосферных явлений и неспособностью метеорологов предсказать их – иными словами, связь между апериодичностью и непредсказуемостью[34]. Найти простые уравнения для апериодичности было делом нелегким – поначалу компьютер воспроизводил идеально повторяющиеся циклы – однако после череды небольших усложнений своей модели Лоренц все же достиг успеха. Это произошло, когда он ввел в машину уравнение, описывающее изменение количества тепла при движении с востока на запад, соответствующее реальной разнице в том, как солнце нагревает восточное побережье Северной Америки и Атлантический океан. В результате повторяющиеся циклы исчезли.

Эффект бабочки был не случайностью, но необходимостью. Допустим, небольшие возмущения так и остаются небольшими, не нарастая в системе, рассуждал ученый. Приближаясь к ранее пройденному состоянию, погода будет повторяться и в дальнейшем. Циклы станут предсказуемыми и в конце концов потеряют все свое очарование. Чтобы воспроизвести богатый спектр реальной погоды земного шара, ее чудесное многообразие, вряд ли можно желать чего-либо лучшего, чем эффект бабочки.

Как уже говорилось, данный феномен имеет и строгое научное название: «сильная зависимость от начальных условий». Эта зависимость не была абсолютной новостью, например, ее превосходно иллюстрирует детский стишок[35]:

Не было гвоздя – подкова пропала,
Не было подковы – лошадь захромала,
Лошадь захромала – командир убит,
Конница разбита, армия бежит,

Враг вступает в город, пленных не щадя,

Оттого что в кузнице не было гвоздя[36].

Как наука, так и жизнь учит, что цепь событий может иметь критическую точку, в которой небольшие изменения приобретают особую значимость. Суть хаоса в том, что такие точки находятся везде и распространяются повсюду. В системах, подобных погоде, сильная зависимость от начальных условий представляет собой неизбежное следствие взаимодействия процессов, происходящих на разных масштабах.

Коллеги Лоренца были изумлены тем, как он соединил апериодичность и сильную зависимость от начальных условий в своей миниатюрной модели погоды. Всего двенадцать уравнений, раз за разом просчитываемые с механической точностью! Как может подобное многообразие, такая непредсказуемость – в чистом виде хаос! – возникнуть из простой детерминистской системы?

Отложив на время занятия погодой, Лоренц стал искать более простые способы воспроизвести сложное поведение объектов. Один из них был найден в виде системы из трех нелинейных, то есть выражающих не прямую пропорциональную зависимость, уравнений. Линейные соотношения изображаются на графике прямой линией и достаточно просты для понимания: чем больше x, тем больше y. Линейные уравнения всегда разрешимы, что делает их подходящими для учебников. Линейные системы обладают неоспоримым достоинством: вы можете разбирать их на некие модули, а затем собирать снова, как конструктор, – эффекты будут попросту суммироваться[37].

Нелинейные системы в общем виде не могут быть решены, и эффекты в них не складываются. Изучая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы, к примеру трение. Если пренебречь им, можно получить простую линейную зависимость между ускорением хоккейной шайбы и силой, придающей ей это ускорение. Приняв в расчет трение, мы усложним формулу, поскольку сила трения будет меняться в зависимости от того, с какой скоростью шайба уже движется. Нелинейность означает, что каждое действие меняет правила игры. Влияние трения не является постоянным, потому что оно зависит от скорости. Скорость, в свою очередь, зависит от трения. Из-за этой обоюдной изменчивости рассчитать нелинейность весьма непросто. Вместе с тем она порождает разнообразные типы поведения объектов, не наблюдаемые в линейных системах. В динамике жидкостей все сводится к одному дифференциальному уравнению: уравнению Навье – Стокса. Будучи удивительно коротким, оно связывает скорость, давление, плотность и вязкость жидкости. Но оно нелинейно, и поэтому природу этих связей зачастую невозможно уловить, так как исследовать поведение нелинейного уравнения – все равно что блуждать по лабиринту, стены которого перестраиваются с каждым вашим шагом. Как сказал Нейман, «характер уравнения… меняется одновременно во всех релевантных отношениях; меняется как порядок, так и степень. Отсюда могут проистекать большие математические сложности»[38]. Другими словами, мир был бы совсем иным и хаос не был бы так уж необходим, если бы в уравнении Навье – Стокса не таился демон нелинейности.