Хаос. Создание новой науки

Члены группы выяснили, что странные аттракторы возбуждают множество вопросов. Каковы их характерные формы? Что представляет собой их топологическая структура? Что говорит геометрия о физике родственных динамических систем? Первым подходом к проблеме явилось практическое исследование, с которого и начал Шоу. Многие математические статьи были посвящены аспекту структуры, но подход математиков казался Шоу слишком детализированным: за деревьями еще не видно было леса. Изучение литературы привело его к мысли, что математики, отвергнув в силу предубеждения компьютерный эксперимент, запутались в сложностях структуры аттракторов и отдельных орбит, бесконечности, возникавшей здесь, и отсутствии регулярной последовательности, проявлявшейся там. Их не интересовала неопределенность аналоговых процессов, которая, с точки зрения физика, правила реальным миром и всеми его системами. Сам Шоу, будучи физиком, увидел на экране своего осциллографа не отдельные орбиты, а некую огибающую кривую, элементами которой они являлись. Эта кривая менялась по мере того, как он нажимал на кнопки. Он не мог дать точное объяснение наблюдаемым изгибам и поворотам на языке математической топологии, и все же ему начинало казаться, что он понимает их.

Физик стремится делать измерения. Но что можно измерить в неуловимых движущихся образах? Члены группы попытались отделить те особые свойства, которые делали странные аттракторы столь чарующими. Сильная зависимость от начальных условий — стремление близлежащих траекторий отдалиться друг от друга… Именно эта характеристика заставила Лоренца понять, что долгосрочное предсказание погоды невозможно. Но где взять инструменты, чтобы определить степень зависимости? Да и поддается ли измерению непредсказуемость?

Ответ на этот вопрос дала концепция, родившаяся в России, а именно — показатели Ляпунова. Эти величины выражали меру как раз тех топологических характеристик, которые соответствовали понятию непредсказуемости. Показатели Ляпунова давали возможность в рамках некоторой системы оценить противоречивые результаты сжатия, растяжения и свертывания в фазовом пространстве аттрактора, позволяя тем самым судить обо всех свойствах системы, которые ведут к стабильности или неупорядоченности. Если значение показателя оказывалось больше нуля, это свидетельствовало об удлинении, при котором близлежащие точки разделялись. Значение меньше нуля указывало на сокращение. Для аттрактора, представлявшего собой неподвижную точку, все экспоненты Ляпунова являлись отрицательными, поскольку растяжение было направлено внутрь, к конечному устойчивому состоянию. Аттрактор в форме периодической орбиты характеризовался лишь одним нулевым значением, все другие значения были отрицательными. Странный аттрактор, как выяснилось, должен был обладать по крайней мере одним положительным значением показателя Ляпунова.

К досаде молодых ученых, оказалось, что они не создали ничего нового, а всего лишь развили готовую идею настолько, насколько было возможно с точки зрения практики, научившись измерять показатели Ляпунова и соотносить их с другими важными характеристиками. Используя компьютерную анимацию, они строили серии движущихся картин, иллюстрировавших биения порядка и хаоса в динамических системах. Проделанный ими анализ ясно показывал, каким образом системы, будучи неупорядоченными в одном направлении, могут оставаться вполне определенными и устойчивыми в другом. Один из таких своеобразных фильмов демонстрировал, что происходит с крошечным кластером соседствующих точек на странном аттракторе — олицетворением начальных условий — по мере развития системы во времени. Кластер начинал «распыляться», теряя фокус, превращался в точку, затем — в маленький шарик, который у некоторых типов аттракторов быстро распылялся. Такие аттракторы представляли интерес при изучении смешивания. У других аттракторов распыление шло лишь в определенных направлениях: шарик превращался в ленту, хаотичную по одной оси и упорядоченную по другой. Создавалось впечатление, будто в системе уживаются упорядоченный и хаотический импульсы и они как бы обособлены. В то время как один импульс приводил к случайности и непредсказуемости, другой работал будто точнейшие часы. И оба они могли быть определены и измерены.