Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

Какая минимальная длина кода нам понадобится, чтобы закодировать русский алфавит? Скажем, хватит ли нам кодов длины 5? Это зависит от того, сколько разных последовательностей из нулей и единиц длины 5 мы можем составить: 00000, 00001, 00010, 00011 и далее до 11111. Всего 32 такие последовательности. Получить данный ответ довольно просто: это 2 в степени 5, то есть 2 × 2 × 2 × 2 × 2[5].

Оказывается, последовательностей длины 5 не хватает, так что вопрос студентов попал в самую точку! Всего из-за одной «лишней» буквы нам понадобится как минимум 6 нулей и единиц в каждом «кодовом слове».

Интересно, что добавление всего одной позиции кода очень сильно меняет дело. Для русского алфавита нам нужны последовательности длины 6, а их уже 64. Значит, нам их хватит не только на русский алфавит, но и, например, на латинский из 26 букв, и в запасе еще останется пять свободных последовательностей для знаков препинания.

Ключевой вывод: добавление всего одной позиции кода увеличивает количество разных последовательностей вдвое. Потому что лишнюю позицию можно заполнить двумя способами – либо нулем, либо единицей. В результате количество букв, слов или сообщений, которые мы можем закодировать, возрастает с длиной кода по так называемому экспоненциальному закону, как степень двойки.

«Растет по экспоненциальному закону» на общедоступном языке означает «растет очень быстро»! Помните легенду о том, как король хотел наградить изобретателя шахмат? Умный изобретатель попросил короля положить на первую клетку доски одно зернышко, на вторую – два, на третью – четыре и далее в том же порядке: в два раза больше на каждую следующую клетку. Король согласился и был потрясен, когда зерна в его амбарах не хватило и на половину доски. Точно так же и количество возможных последовательностей из нулей и единиц возрастает очень быстро с их длиной: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…

Экспоненциальная зависимость между количеством разных кодовых слов и их длиной – абсолютно фундаментальная концепция в информатике и вопросах передачи информации.

Заметим, что количество информации зависит не только от длины кода в килобайтах, но и от того, насколько информативны кодируемые слова. Естественная иллюстрация – это отправка сообщения по телеграфу. Там каждое слово стоит денег, и люди стараются не использовать лишних слов, избегая союзов и предлогов, потому что они менее информативны, чем глаголы и существительные.

Основные концепции о том, как измерить количество информации, изложены в фундаментальной работе Клода Шэннона, опубликованной в 1949 году{5}. Эти концепции во многих отношениях положили начало развитию информатики и строятся все на той же основополагающей экспоненциальной зависимости. Однако мы не будем углубляться в теорию информации, а вернемся к вопросу о том, как составить надежные и эффективные коды.

Коды, исправляющие ошибки

Как вы уже поняли, код – это просто любой набор последовательностей из нулей и единиц. Но не все коды одинаково хороши. Разумеется, неплохо, если каждое кодовое слово достаточно короткое. Об этом мы как раз говорили в прошлом разделе. Однако есть куда более интересные характеристики кода, нежели длина кодовых слов.

Представим, что мы начали передавать кодовые слова по каналу связи, но в нем иногда возникают помехи. Из-за каждой такой помехи передаваемый символ меняется на противоположный: ноль – на единицу, единица – на ноль. Можно ли подобрать кодовые слова так, чтобы все передаваемые символы, несмотря на ошибки, удалось однозначно восстановить? Звучит как научная фантастика! Но оказывается, можно! Достаточно лишь правильно сформулировать соответствующую математическую задачу.

Допустим, наши кодовые слова длины 6 и на каждое кодовое слово приходится не более одной ошибки. Поскольку это простой пример, представим, что наш словарный запас беднее, чем у Эллочки-людоедки из «Двенадцати стульев», и состоит всего из трех слов, которые мы закодировали тремя кодовыми словами:

111000, 001110, 100011.

Конечно, много таким кодом не передашь, но для примера вполне достаточно. Еще важно, что получатель знает наш «словарь», то есть ожидает от нас либо 111000, либо 001110, либо 100011 и ничего другого.

Предположим, мы сначала передаем слово 111000. В результате не более чем одной ошибки (ошибки мы выделили жирным шрифтом) оно может превратиться в одно из слов:

111000, 011000, 101000, 110000, 111100, 111010, 111001, (3.1)

включая, как видите, само себя. Аналогично при передаче слова 001110 может получиться любое из слов:

001110, 101110, 011110, 000110, 001010, 001100, 001111. (3.2)

Наконец, для 100011 у нас выйдет:

100011, 000011, 110011, 101011, 100111, 100001, 100010. (3.3)