Космологические коаны. Путешествие в самое сердце физической реальности

Да, формула Эйлера (была и будет) верна, потому что ее можно Доказать. То есть была сформулирована система математических аксиом и правил, и, применяя эти правила к этим аксиомам, можно вывести и формулу Эйлера, и много других формул. Гораздо менее ясно, были ли сами аксиомы открыты или изобретены. Кажется, что определенным образом подобранные аксиомы порождают многочисленные полезные и интересные математические «плоды». Но почему не представить себе, что другая система аксиом тоже может привести к разнообразной и интересной математической конструкции? И даже если конструкции, являющиеся следствием другой системы аксиом, скучны и бедны, сделает ли это их менее «открытыми», чем те, которые мы используем?

Более того: та же система аксиом и правил может быть источником поистине невероятного числа математических формул. Представьте себе, что джинн настроил свой джинниум так, что он просто выдает все возможные утверждения, которые можно вывести, исходя из стандартной системы математических аксиом. Строчка за строчкой джинниум будет исторгать из себя математически правильные утверждения. Но означает ли это — заниматься математикой? Трудно себе представить математика, который с этим согласится, как трудно вообразить писателя, который скажет об обезьяне, стучащей по клавишам пишущей машинки, что она пишет книгу.

В конце концов, когда аксиомы и правила установлены, множество всех следующих из них суждений — это просто бесконечный набор строго определенных (возможно, сложных) утверждений, который в принципе ничем не отличается от множества всех последовательностей ходов при игре в шахматы или цепочек слов. Однако почти все последовательности шахматных ходов, цепочки слов или математические утверждения полностью бессодержательны! Только крошечное их подмножество действительно представляет интерес, и истинный смысл креативного процесса — определение этого малого подмножества. В самом деле: существуют компьютерные системы, позволяющие доказывать теоремы автоматически, но они не слишком полезны. Например, чтобы доказать очень простое математическое утверждение, что 2 + 2 =4, начав с равенства 1 + 1 = 2, потребуются программа из 10 строк, 26 аксиом, 40 определений[152] и невероятно большое число логических общезначимых высказываний, которые надо будет проверить. Чтобы такая система вообще смогла выстроить, например, 108-ми страничное доказательство Эндрю Уайлса последней теоремы Ферма, потребуется время, вероятно, сравнимое с метакальпой. Точно так же, как композиторы подбирают очень специфические последовательности нот, а опытные шахматисты предпочитают завораживающе красивые игры, где победа достается в упорной борьбе, математики при доказательстве красивых и содержательных теорем используют тщательно отобранную и убедительную последовательность логических рассуждений. Поступая так, они генерируют информацию ровно в том же смысле, что и река Лхаса: из большого, огромного числа возможностей они выбирают только ничтожно малую их часть.

С этой точки зрения тот факт, что формула e^iπ = -1 была справедлива до того, как на нее обратили внимание люди, не впечатляет, как не впечатляет и существование банальных математических утверждений, всех возможных шахматных игр и так далее. Если мы определили набор правил, то можно показать, что все возможные логические следствия из этих правил были и будут всегда. Почему же тогда математики, а не композиторы, привыкли думать, что они совершили открытие?