Красота физики. Постигая устройство природы

На вклейке Q, например, показана тень, которую отбрасывает лезвие бритвы или какой-то другой предмет с острым прямым краем, если осветить его «очищенным» светом. Если увеличить изображение тени, получившейся благодаря очищенному свету, мы обнаружим богатый и красивый узор.

Геометрические соображения, основанные на грубой идее о том, что свет распространяется лишь вдоль прямых линий, говорят нам, что тень – это четкое деление между светом и темнотой. Но когда мы рассчитываем волновые возмущения электрического и магнитного полей, у нас получается гораздо более замысловатая структура. Свет проникает в области темноты (в зону геометрической тени), а темнота появляется и там, где должен быть свет. Вид этой структуры можно точно рассчитать при помощи уравнений Максвелла. И теперь, когда у нас есть яркие монохроматические лазеры, можно напрямую сравнивать эти предсказания с реальностью. Теперь, глядя на эту фотографию, нам остается только воскликнуть: «Разве это не прекрасно?!»

Симметрия уравнений

Изучение уравнений Максвелла открыло нам совершенно новую идею, которая ранее не играла большой роли в науке. Это идея о том, что уравнения, как и предметы, могут быть симметричными и что уравнения, которые Природа любит использовать в своих фундаментальных законах, чрезвычайно симметричны. Сам Максвелл и не догадывался об этой идее; великолепный пример того, как из физической теории можно получить гораздо больше, чем было заложено автором!

Что означает, когда говорят, что уравнения симметричны? Хотя слово «симметрия» имеет различные, часто расплывчатые значения в повседневной жизни, в математике и физике оно определяется достаточно точно. Здесь симметрия означает Изменение без изменения. Это определение может звучать таинственно или даже парадоксально, но означает нечто совершенно конкретное.

Давайте вначале посмотрим, как это странное определение симметрии прилагается к предметам. Мы говорим, что предмет симметричен, если мы можем произвести над ним действие, которое могло бы изменить его – но в действительности не изменяет. Так, например, окружность очень симметрична, потому что вы можете повернуть ее вокруг центра и, хотя каждая ее точка сдвинется, в целом она останется той же самой окружностью, тогда как, если вы возьмете какую-то менее правильную форму и станете поворачивать ее, вы будете получать нечто совершенно иное. Правильный шестиугольник менее симметричен, потому что вы должны повернуть его на 60° (1/6 часть окружности), чтобы получить ту же самую форму, а в равностороннем треугольнике симметрии еще меньше, потому что вы должны повернуть его на 120° (1/3 часть окружности). Произвольная неправильная фигура не имеет симметрии вообще.

Можно пойти и в противоположном направлении. Мы можем начать с симметрии и прийти к объектам. Например, мы можем искать кривые, которые не меняются при вращении вокруг какой-либо точки, а затем открыть, что окружности являются уникальным воплощением такой симметрии.

Та же самая идея может быть приложена к уравнениям. Вот простое уравнение:

X = Y

…которое, как вы видите, идеально уравновешено между Х и Y. Появляется искушение сказать, что оно симметрично. И, в самом деле, так и есть, согласно математическому определению. Ведь если вы замените Х на Y, а Y на Х, вы получите другое уравнение, а именно

Y = X

Это новое уравнение отличается по форме, но имеет точно то же самое содержание, что и старое. Мы получаем Изменение без изменения, т. е. симметрию.

А вот если мы поменяем местами Х и Y, уравнение Х = Y + 2 изменится на Y = X + 2, что вовсе не означает то же самое. Таким образом, это уравнение несимметрично.

Симметрия – это свойство, которым одни уравнения и системы уравнений обладают, а другие – нет.

Уравнения Максвелла, как выясняется, обладают огромным количеством симметрии. Существует множество преобразований, которые вы можете провести с уравнениями Максвелла, и они изменят их форму, но не содержание в целом. Интересные симметрии уравнений Максвелла значительно более сложны, чем тот несерьезный пример, который мы только что рассмотрели, но принцип – тот же самый.

Как в случае с предметами, так и с уравнениями мы можем пойти противоположным путем. Вместо того, чтобы составлять уравнения и затем искать, какую симметрию они позволяют отразить, т. е. идти по пути

уравнения → симметрия,

…мы можем начать с симметрии и искать уравнения, которые позволяют ее выразить:

симметрия → уравнения

Замечательно, что этот путь возвращает нас к уравнениям Максвелла! Другими словами, уравнения Максвелла – это, по существу, единственные уравнения, которые имеют симметрию, которую сами же создают. Они подобны окружностям, которые определяются своей собственной высокой симметрией вращения. Таким образом, уравнения Максвелла воплощают идеальное соответствие:

уравнения ↔ симметрия

Не будет большой натяжкой увидеть в этом соотношении пример нашего желаемого соответствия:

Реальное ↔ Идеальное