Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Польский специалист в области логики Альфред Тарский предложил иерархию языка (во многом напоминающую иерархию множеств Рассела), которая позволяет решить парадокс лжеца[164]. В соответствии с ней существует язык уровня 1 и метаязык уровня 2 для описания утверждений на языке уровня 1, а также метаязык уровня 3 для описания утверждений на языке уровня 2 и т. д. Истинность или ложность утверждений можно описывать только на метаязыке следующего уровня, поэтому утверждение не может приписывать истинность или ложность самому себе. Как объяснил однажды Рассел, если бы Эпименид заявил: «Я говорю неправду уровня n», это действительно была бы ложь, но ложь уровня n + 1.

Комедианты используют метаязык так же, как и логики[165]. Если шутка не удалась, всегда можно выйти из ситуации с юмором, отпустив шутку по поводу неудавшейся шутки.

Книга Principia Mathematica так и остается непрочитанной. Тем не менее предпринятая в ней попытка создать свободную от парадоксов аксиоматическую основу арифметики была с энтузиазмом подхвачена другими учеными. Аксиоматическая теория множеств считается величайшим интеллектуальным достижением начала XX столетия[166], приведшим к появлению замечательных работ в области математики, логики и философии. Стандартная система аксиом получила название ZFC (сокр. от имен математиков Эрнста Цермело (Ernst Zermelo) и Авраама Френкеля (Abraham Fraenkel)) с аксиомой выбора. Аксиома выбора гласит, что при наличии бесконечного количества множеств, каждое из которых содержит не менее одного элемента, можно создать новое множество, включающее по одному элементу из каждого множества. На первый взгляд эта аксиома кажется вполне справедливой, хотя на самом деле она крайне противоречива. Одна из самых горячих дискуссий в теории множеств касалась именно того, стоит ли включать эту аксиому в систему, потому что из-за этого начнут происходить весьма странные вещи.

Стефан Банах, польский математик, который доказал теорему о бутерброде с ветчиной в Шотландском кафе, а также Альфред Тарский, специалист в области логики, предложивший расселовскую иерархию языка, доказали, что если считать аксиому выбора истинной, то истинной будет и следующая теорема:

Шар можно разделить на конечное количество фрагментов, из которых можно собрать две идентичные копии исходного шара.

Эта теорема более известна как «парадокс Банаха — Тарского». Слово «парадокс» используется здесь потому, что на первый взгляд теорема противоречит законам физики, хотя в ее доказательстве нет логических противоречий. В физическом смысле собрать два шара из фрагментов одного невозможно, поскольку эти фрагменты представляют собой не цельную структуру, а совокупность бесконечного количества точек. Тем не менее теорема поражает воображение. Из нее следует, что любой шар можно разделить на части и составить из них любой другой объект, а значит, из горошины можно сделать солнце. (Несмотря на столь невероятные выводы, сейчас большинство математиков принимают аксиому выбора.)

Если суть шутки состоит в неожиданных выводах, то парадокс Банаха — Тарского — самая смешная теорема в математике.

В конце 1970-х, когда мне было около восьми лет, мы перешли на уроках математики от чисел к множествам. Я хорошо помню, как это происходило. Овал с несколькими точками олицетворял собой одно множество, а второй овал с несколькими точками — другое множество. Нам следовало соединить точки одного множества с точками другого, что показывало, в каком множестве больше точек. Я так и не понял, в чем смысл этих упражнений, и мне кажется, учителя тоже не понимали. Примерно через год на уроках перестали говорить о множествах, и я снова встретился с ними уже на втором курсе университета. Если вы учились в школе в 60-х, 70-х или 80-х годах XX века, вполне вероятно, что вас тоже кратко знакомили с теорией множеств. Присутствие этой дисциплины в учебной программе связано с именем Николя Бурбаки, самого плодовитого математика ХХ столетия.