Красота в квадрате

Еще дешевле телескоп с жидким зеркалом — в нем используется вращающийся цилиндр, наполненный отражающей жидкостью. Большой зенитный телескоп возле Ванкувера представляет собой чашу, наполненную ртутью, которая во время вращения принимает форму параболоида. На настоящий момент это самый дешевый из крупных телескопов мира, но у него есть один серьезный недостаток: чаша вращается в горизонтальной плоскости, а значит, телескоп может быть направлен только прямо вверх, в зенит.

В 1637 году французский математик Рене Декарт изобрел систему координат, что стало самым значительным прорывом в понимании конических сечений со времен Аполлония. Декартова система координат определяет положение точки на плоскости по ее расстоянию от вертикальной и горизонтальной оси [12]. Каждая точка имеет уникальные координаты (a, b), где a — это позиция на горизонтальной оси, а b — на вертикальной (см. рисунок 1 ниже). Данная система позволяла математикам описывать кривые посредством уравнений и представлять уравнения в виде кривых. Следовательно, она создала мост между геометрией, изучающей фигуры, и алгеброй, изучающей уравнения, которые были до этого разными математическими дисциплинами.

По сложившейся традиции мы записываем уравнения с помощью переменных x и y, отображающих позицию на горизонтальной и вертикальной оси, другими словами — координаты (x, y). Например, график уравнения x = y представляет собой совокупность всех точек с координатами (x, y), где x = y. Как показано на рисунке 2, это точки с координатами (1, 1), (2, 2), (3, 3) и т. д. С другой стороны, график уравнения y = x² — это совокупность всех точек, у которых y = x². Это точки с координатами (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9) и т. д. Такая кривая, представленная на рисунке 3, представляет собой параболу, касающуюся горизонтальной оси в начале системы координат или в точке с координатами (0, 0). Но, поскольку школьная программа больше ориентирована на алгебру, чем на геометрию, наша первая встреча с параболой происходит в момент построения графика уравнения y = x². Возможно, вы узнаете ее как старого друга, первую U-образную кривую, которая встретилась вам в процессе изучения элементарной математики.

Декартова система координат

Корни алгебры лежат в решении практических задач. Например, какова формула площади квадрата? Если предположить, что x — это сторона квадрата, а y — его площадь, то эта формула выглядит так: y = x². Когда в уравнении есть x² или y², но не более высокая степень x или y, оно называется квадратным уравнением. Вавилоняне изобрели собственные методы решения квадратных уравнений, в частности для задач, связанных с расчетом площадей. К началу эпохи Возрождения решение квадратных уравнений уже было хорошо изученной областью. Что же еще оставалось о них неузнанным?

Благодаря прямоугольной системе координат было установлено, что квадратные уравнения — это не что иное, как конические сечения. Другими словами, каждое квадратное уравнение описывает определенное коническое сечение, и каждое коническое сечение может быть описано квадратным уравнением. Два тщательно изученных раздела математики оказались альтернативным представлением друг друга. Общее квадратное уравнение Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, где A, B, C, D, E и F — это константы и хотя бы одна из констант A, B и C отлична от нуля, всегда отображается на графике в виде конического сечения, и наоборот: любое коническое сечение, отображенное на графике, может быть выражено в виде приведенного выше уравнения. На рисунке 4 уравнение эллипса будет таким: 2x² + y² + 8x = 0, а уравнение параболы — таким: 16x² − 24xy + 9y² − 38x − 84y + 121 = 0. В середине XIX века немецкий математик Август Фердинанд Мебиус открыл поразительное свойство параболы y = x²: эта кривая представляет собой Multiplikationsmaschine — «машину умножения» [13].

Мебиус хорошо разбирался в геометрических изгибах: в буквальном смысле слова, как в случае ленты Мебиуса (скрученной полоски бумаги со склеенными концами), и в более абстрактном смысле — при вычислениях с помощью параболы. Этот метод представлен ниже на первом рисунке. Для того чтобы выполнить операцию a × b, достаточно нарисовать прямую линию между точками на параболе, где x = –a и x = b. Точка, в которой эта линия пересекает ось у, — и есть ответ! Все, что нужно, — это нарисовать линию и отметить точку пересечения. На рисунке справа — пример выполнения операции 2 × 3. Требуемая линия проходит через точки на параболе, в которых x = –2 и x = 3, и пересекает ось у в точке 6. Данный метод применим к любым двум числам (доказательство можно найти в Приложении 4).

Как умножить два числа с помощью параболы