Красота в квадрате

Теперь приготовьтесь к самому интересному. Нам необходимо определить множество узников в итерации z → z² + c, где c — начальное значение итерации. Давайте подумаем, что означает эта итерация на комплексной плоскости. Мы берем точку c, затем возводим ее в квадрат, что поворачивает ее вокруг начала координат и возводит в квадрат ее расстояние от начала координат. Затем мы прибавляем c, что смещает эту точку на комплексной плоскости на расстояние c. После этого новая точка поворачивается, а ее расстояние от начала координат возводится в квадрат, прежде чем она будет снова смещена на расстояние c. Таким образом, данная итерация представляет собой бесконечное чередование таких операций, как вращение, смещение и перенос в каждой точке на комплексной плоскости. Посредством логических умозаключений невозможно определить, как будет выглядеть множество узников в данном случае. Единственный способ — выполнить итерации для огромного количества точек, что до появления компьютеров было неосуществимо.

В 1979 году работавший в компании IBM французский математик Бенуа Мандельброт заинтересовался итерацией z → z² + c. Его первые распечатки показали множество узников в форме капли с крохотными разводами, напоминающими маленькие брызги, отделившиеся от основной капли. Мандельброт оставил своим ассистентам записку, в которой предупреждал, что эти дефекты появились не из-за ошибки компьютера, и просил не удалять их с распечаток. Увеличив степень детализации этих участков, Мандельброт увидел, что они состоят из удивительных узоров, соединенных с множеством узников крохотными ответвлениями. Постепенно сформировалась полная картина множества узников. Она напоминала жука-долгоносика с игольчатым панцирем и не походила ни на одну известную геометрическую фигуру.

Множество узников в итерации z → z² + с: множество Мандельброта

© Брайан Поллок

На первый взгляд множество Мандельброта (именно так назвали эту фигуру) выглядит уродливо и даже пугающе. Но если присмотреться к нему поближе, то можно увидеть его замысловатую красоту. На представленных ниже рисунках показаны детализированные изображения «Долины морского конька» — так называется фрагмент множества Мандельброта между головой и телом «жука». Расположенные по периметру бугорчатые выступы образуют ажурный «огуречный» орнамент со спиралями, напоминающими хвост морского конька. Внутри этих спиралей еще больше спиралей, затем еще спирали внутри спиралей — и так до тех пор, пока не появится миниатюрное множество Мандельброта, запечатленное в этой фигуре как насекомое в капле янтаря. «Он [фрактал] не оставляет места для скуки, поскольку все время появляется что-то новое, но и не дает нам заблудиться, так как нечто знакомое возвращается снова и снова», — писал Мандельброт. Процесс изменений носит безмерно глубокий и широкий характер: на какой бы фрагмент границы множества вы ни посмотрели, увеличение уровня детализации раскроет бесконечно меняющийся ландшафт. Битва между узниками и беглецами так идеально сбалансирована, что вихри схваток между ними можно обнаружить в каждой точке, в любом масштабе.

Путешествие в Долину морского конька

© Брайан Поллок

© Брайан Поллок

Множество Мандельброта — это фрактал. Термин «фрактал» ввел сам Мандельброт для обозначения любой фигуры, содержащей уменьшенные версии самой себя. (Ходила шутка, что буква «Б» в имени «Бенуа Б. Мандельброт» означает «Бенуа Б. Мандельброт».) Фракталы часто встречаются в природе — например, цветок головки цветной капусты имеет ту же форму, что и вся головка, а один фрагмент ветки папоротника напоминает всю ветку. Именно фрактальные свойства множества Мандельброта делают его бесконечно раскрывающиеся узоры столь органичными. Открытие Мандельброта — это тот редкий случай, когда серьезное достижение в области чистой математики стало столь же значимым событием в массовой культуре. Изображения фрактала появились на обложках журналов и на стенах спален; он стал такой же иконой 1980-х, как Адам Ант или подплечники. У фрактала до сих пор масса приверженцев. По мере увеличения мощности компьютеров исследователи проникают в структуру фрактала все глубже и глубже, и каждое такое путешествие отражает не только научные, но художественные и духовные поиски.