Кто — кого?

Вряд ли Бодо, разрабатывая телеграфный аппарат, сознательно анализировал возможности использования той или иной системы счисления в своем автомате. Скорее всего он и не подозревал, что существуют другие системы счисления, кроме той, которой его учили в школе. Он решал техническую задачу и из множества решений интуитивно нашел одно самое простое и удобное для практической реализации, применив двоичный код.

Что есть система?

Я ношу обувь 42-го размера. У других авторов и читателей размер ноги может быть другим. Соответственно они носят обувь меньшего (41-го, 40-го) или большего (43-го, 44-го) размера. Нумерация размеров обуви имеет строгий и понятный порядок, пронизанный общей идеей.

Словом, это образцовый пример системы, хорошо нам понятной, даже если мы не знаем, откуда взялись и что означают таинственные числа 40, 41, 42 и т. д.

Система противостоит хаосу, за примером которого, по мнению автора, тоже далеко идти не надо.

Одному из моих ближайших родственников в возрасте четырех лет понадобилось кое-что из детского гардероба. Я направился в «Детский мир».

Мне поручили приобрести вельветовый костюмчик 28-го размера. В продаже его не было; продавец предложил мне взамен трикотажный костюмчик, причем предупредил, что в моем случае следует почему-то брать 32-й размер, добавив, что, например, пижама для того же ребенка уже нужна 26-го размера. Я не стал спрашивать почему и пошел дальше. Через час у меня был список, согласно которому все для того же малыша полагались: ботиночки — 26-го размера, к ним калоши — 7-го размера, сандалии — 25-го размера, валенки — 18-го размера, к ним калоши — 9-го размера, чулки — 16-го размера, шапка меховая — 53-го размера…

Широким опросом я обнаружил, что никто не может установить взаимосвязь этих чисел и руководящий принцип, которому они подчинены. По моему глубокому убеждению, они не образуют систему! Они — хаос!

Само собой разумеется, что в качестве системы счисления нельзя использовать хаотический набор цифр и чисел, подобный тому, о котором сейчас шла речь. Система начинается тогда, когда они подчинены определенному порядку перехода от одного числа к другому, определенным законам действия над ними.

Так, мы знаем, что в десятичной системе за числом 9 следует число 10, за 499 следует 500, а за 7855 — 7856. Такой переход от числа к числу мы обычно совершаем не задумываясь. Однако сознательно или бессознательно мы при этом всегда руководствуемся следующими правилами:

1. Заменить последнюю цифру числа следующей цифрой, имеющейся в этой системе (например, в числе 7855 заменить последнюю 5 на 6).

2. Если последняя цифра числа является наибольшей в этой системе, то ее следует заменить на наименьшую, а затем сдвинуться на одну колонку влево и заменить стоящую здесь цифру на старшую.

3. Если в этой колонке стоит наибольшая цифра системы, то надо повторять действие, предусмотренное предыдущим правилом, до тех пор, пока не встретится колонка, допускающая замену стоящей в ней цифры на старшую.

Попробуем, например, применить эти правила для перехода от числа 499 к следующему числу. Последняя цифра этого числа 9 является наибольшей цифрой в десятичной системе счисления, и согласно правилу 2 ее следует заменить на нуль. Сдвинувшись затем на одну колонку влево, видим, что и здесь стоит цифра 9. Согласно правилу 3 ее также заменяем на нуль, а затем, передвинувшись в следующую колонку, заменяем 4 на 5. В результате от числа 499 мы перейдем к числу 500.

Вот теперь, располагая методом, позволяющим переходить от одного числа к другому, мы можем утверждать, что ведем счет чисел по определенной системе; в нашем случае по десятичной.

Согласно этой системе сначала накапливаются единицы вплоть до 9. Следующее число 10 образуется двумя цифрами, ранее использованными для счета единиц. Цифра 1, записанная во второй колонке слева, или, как говорят, во втором разряде, означает, что счет теперь ведется десятками. Переход в третий разряд соответствует счету сотен и т. д. Число 499 фактически представляет собой 4 · 10² + 9 · 10¹ + 9 · 10⁰ = 499.

Число 7856 в действительности есть 7 · 10³ + 8 · 10² + 5 · 10¹ + 6 · 10⁰ = 7856.

А число 4,99 равно 4 · 10⁰ + 9 · 10^–1 + 9 · 10^–2 = 4,99.

Таким образом, в десятичной системе счисления каждое число представляет собой сумму различных степеней числа 10, то есть числа, равного количеству различных символов этой системы.

Само собой разумеется, что не только десятичная, но и любая другая система счисления подчинена определенным правилам. Попытаемся изобрести еще одну систему (кстати, она уже давно служит людям). Для этого припишем отверстию в перфоленте или импульсу тока символ единицы; отсутствию отверстия или паузе — символ нуля. Теперь мы располагаем двумя символами 1 и 0. Оказывается, они могут составить основу новой системы счисления, которая будет называться двоичной. В ней любые числа записываются в виде той или иной комбинации всего лишь двух цифр — нуля и единицы. Однако правила перехода от одного числа к следующему в двоичной системе точно такие же, что и в десятичной.