Кто — кого?

Первые две цифры 0 и 1 в обеих системах одинаковы, однако уже для числа 2 в двоичной системе отдельного символа нет. Эквивалентная ему цифра образуется использованием уже имеющихся двух цифр и записывается так: 10. Чтобы избежать путаницы, будем число 2 читать: один-ноль.

Следующее число получим, пользуясь приведенными выше правилами. Согласно первому из них оно запишется как 11.

Для записи следующего числа нам придется применить правило 3 и использовать запись уже в трех разрядах: получим — 100. Следующими числами в двоичной системе будут 101, 110, 111; затем будут следовать четырехразрядные числа 1000, 1001, 1010 и т. д. В таблице приведены эти числа вместе с соответствующими им десятичными числами.

Десятичные числа в двоичной системе

Десятичные / Двоичные

0 / 0

1 / 1

2 / 10

3 / 11

4 / 100

5 / 101

6 / 110

7 / 111

8 / 1000

9 / 1001

10 / 1010

11 / 1011

12 / 1100

13 / 1101

14 / 1110

15 / 1111

16 / 10000

17 / 10001

18 / 10010

19 / 10011

20 / 10100

Как в десятичной системе любое число представляет собой сумму различных степеней числа 10, так в двоичной системе любое число представляет собой сумму различных степеней числа 2.

Таким образом, десятичное число, эквивалентное числу 1101, записанному в двоичной системе, будет равно:

1101 = 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1=8 + 4 + 1 = 13.

Ниже приведены числа, представляющие различные степени двойки; с их помощью легко отыскиваются десятичные эквиваленты двоичных чисел:

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

2¹¹ = 2048

2¹² = 4096

2¹³ = 8192

Но, конечно, чтобы перейти от двоичного числа к десятичному, совершенно не обязательно пользоваться таблицами. Для этой цели можно, например, воспользоваться способом, основанным на применении двух следующих правил, относящихся ко всем разрядам двоичного числа.

Начиная со старшего разряда следует поступать так:

1. Если в следующем разряде стоит нуль, удвойте то, что вы накопили.

2. Если в следующем разряде стоит единица, удвойте то, что вы накопили, и прибавьте еще единицу.

Давайте для примера найдем десятичный эквивалент двоичного числа 1101, строго выполняя указанные правила.

Начнем со старшего разряда. Удвоим единицу и согласно правилу 2 прибавим еще единицу. В результате получим 3. Затем переходим к следующему разряду. Теперь согласно правилу 1 получим 6. А затем удваиваем это число и прибавляем еще единицу. Как и следовало ожидать, получим число 13.

Так же несложно совершается переход от записи чисел в десятичной системе к записи их в двоичной системе. Для этого десятичное число следует разделить на два, частное вновь разделить на два и продолжить деление до тех пор, пока частное будет равно единице. Эта единица и остатки всех предыдущих делений образуют двоичное число, эквивалентное исходному десятичному. Запишем в качестве примера число 19 в двоичной системе. Для этого составим таблицу последовательных делений.

Выписав последнее частное и все остатки начиная снизу, найдем, что в двоичной системе 19 запишется так: 10011.

Вы, наверно, уже обратили внимание на то, что любое двоичное число, кроме нуля и единицы, требует при своей записи большего количества разрядов, чем эквивалентное ему десятичное число. Однако этот недостаток двоичной системы с избытком перекрывается простотой способов автоматической записи, чтения и передачи двоичных чисел, а также простотой автоматизации арифметических операций над ними.

При сложении десятичных чисел следует помнить, что 9 плюс 8 равно 17, 5 плюс 6 равно 11 и т. д. и т. д. а при их умножении следует помнить большую таблицу умножения. При сложении двоичных чисел достаточно запомнить три следующих простейших правила:

1) 0 плюс 0 равно 0.

2) 0 плюс 1 равно 1.

3) 1 плюс 1 равно 0 с прибавлением 1 в старшем разряде.

Пользуясь этими тремя правилами, можно производить сложение любых двоичных чисел. Сложим, например, два двоичных числа 10 и 11, которым в десятичной системе соответствуют числа 2 и 3:

Десятичный эквивалент этого числа равен:

101 = 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 5.

Что и следовало ожидать.

Таким же простейшим правилам подчиняются в двоичной системе и другие арифметические действия над числами.

И наконец, обратите внимание на то, как удобен двоичный код для подсчета количества информации, содержащейся в сообщении. Если каждый сигнал может принимать одно из двух состояний (например, ток или пауза) и если оба эти состояния одинаково вероятны, то, значит, каждый сигнал, отвечая на один двоичный вопрос (есть ли ток?), несет один бит информации.

Двоичный язык стал самым распространенным в мире автоматов, передающих и перерабатывающих информацию. Но, пожалуй, самое удивительное — это то, что такой язык не нов, что он давным-давно используется в живых организмах.

Чуть-чуть про мозг