Курс общей астрономии

При счете времени календарными сутками необходимо условиться, где (на каком меридиане) начинается новая дата (число месяца). По международному соглашению линия перемены даты (демаркационная линия) проходит в большей своей части по меридиану, отстоящему от гринвичского на 180°, отступая от него к западу – у островов Врангеля и Алеутских, к востоку – у оконечности Азии, островов Фиджи, Самоа, Тонгатабу, Кермадек и Чатам. Необходимость установления линии перемены даты вызвана следующими соображениями. При кругосветном путешествии с запада на восток путешественник проходит пункты, где часы, идущие по местному (или поясному) времени, показывают все большее время по сравнению с местным (поясным) временем пункта отправления путешественника. Постепенно переводя стрелки своих часов вперед, к концу кругосветного путешествия путешественник насчитывает одни лишние сутки. И наоборот, при кругосветном путешествии с востока на запад – одни сутки теряются. Во избежание связанных с этим ошибок в счете дней и установлена линия перемены даты. К западу от линии перемены даты число месяца всегда на единицу больше, чем к востоку от нее. Поэтому после пересечения этой линии с запада на восток необходимо уменьшить календарное число, а после пересечения ее с востока на запад, наоборот, увеличить на единицу. Например, если корабль пересекает демаркационную линию 8 ноября, идя с запада на восток, то на корабле дата в полночь, следующую после пересечения этой линии, не меняется, т. е. два дня подряд датируются как 8 ноября. И наоборот, если корабль пересекает эту линию 8 ноября, идя с востока на запад, то в полночь, следующую после перехода через нее, дата меняется сразу на 10 ноября, а дня с названием 9 ноября на корабле не будет. Соблюдение этого правила исключает ошибку в счете дней, впервые допущенную участниками первой кругосветной экспедиции Магеллана в XVI в., когда они, вернувшись на родину, обнаружили, что разошлись в счете дней и чисел месяца с жителями, остававшимися на месте, ровно на одни сутки.

§ 28. Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников. Сферическим треугольником называется фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис. 15).

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника. Эти углы измеряются плоскими углами при вершинах треугольника между касательными к его сторонам. Обычно рассматриваются треугольники, углы и стороны которых меньше 180°. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180°, но меньше 540°, а сумма сторон всегда меньше 360°. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180° называется сферическим избытком s , т.е. s = РA + РB + РC – 180°. Площадь сферического треугольника s равна , где R – радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник. Сферический треугольник, таким образом, отличается по своим свойствам от плоского, и применять к нему формулы тригонометрии на плоскости нельзя. Возьмем сферический треугольник АВС (рис. 15), образованный на сфере радиуса R и с центром в точке О. Из вершины А проведем касательные AD и АЕ к сторонам b и с до пересечения их с продолжениями радиусов ОС и 0В, лежащих в одной плоскости с соответствующей касательной. Соединив прямой точки пересечения D и Е, получим два плоских косоугольных треугольника ADE и ODE с общей стороной DE. Применяя к этим треугольникам теоремы элементарной геометрии, напишем: DE2 = OD2 + ОЕ2 – 2ODЧ ОЕ Ч cos a, DE2 = AD2 + АЕ2 – 2ADЧ АЕЧ cos A. Вычитанием второго равенства из первого получим:

2OD Ч ОЕЧ cos a = OD2 – AD2 + ОЕ2 – АЕ2 + 2AD Ч АЕ Ч cos A.(1.31)

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОАD следует: OD2 – AD2 = R2; OE2 – AE2 = R2; AD = R tg b ; АЕ = R tg с ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,(1.32)

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними. Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b: cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B. Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь: cos b (l – cos2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B. Заменив (1 – cos2 с) на sin2 с и сократив все на sin c, окончательно получим sin a cos В = sinc cos b – cos c sin b cos A,(1.33)