Курс теоретической астрофизики

Очевидно, что при сделанных предположениях относительно α_𝑖𝑘 и ε_𝑖𝑘 излучение частоты ν будет посылаться к наблюдателю не всей оболочкой, а только её некоторой областью, расположенной по обе стороны от поверхности равных лучевых скоростей, определённой уравнением

ν

=

ν

_𝑖𝑘

+

ν_𝑖𝑘

𝑐

𝑣

_𝑧

(𝑥,𝑦,𝑧)

.

(28.1)

Границы упомянутой области находятся от поверхности (28.1) по лучу зрения (т.е. по оси 𝑧) на расстоянии, соответствующем изменению частоты на величину Δν_𝑖𝑘/2. Обозначая граничные значения 𝑧 через 𝑧₁ и 𝑧₂ и пользуясь малостью 𝑢 по сравнению с 𝑣, получаем

Δ

ν

_𝑖𝑘

=

ν_𝑖𝑘

𝑐

⎪

⎪

⎪

∂𝑣_𝑧

∂𝑧

⎪

⎪

⎪

(𝑧₂-𝑧₁)

,

(28.2)

или

𝑧₂-𝑧₁

=

2𝑢

|∂𝑣_𝑧 /∂𝑧|

.

(28.3)

Пусть 𝐼_𝑖𝑘(𝑥,𝑦,ν) — интенсивность излучения, идущего от точки диска звезды с координатами 𝑥,𝑦 в частоте ν внутри линии. Так как «толщина» слоя, дающего излучение в частоте ν (т.е. разность 𝑧₂-𝑧₁), сравнительно невелика (за исключением отдельных мест), то величины α_𝑖𝑘 и ε_𝑖𝑘 можно считать постоянными в этом слое вдоль оси 𝑧 и равными их значениям на поверхности (28.1). Поэтому для интенсивности 𝐼_𝑖𝑘(𝑥,𝑦,ν) имеем

𝐼

_𝑖𝑘

(𝑥,𝑦,ν)

=

ε_𝑖𝑘

α_𝑖𝑘

⎡

⎣

1

-

exp

⎛

⎝

-

α

_𝑖𝑘

(𝑧₂-𝑧₁)

⎞

⎠

⎤

⎦

.

(28.4)

Полная энергия, излучаемая оболочкой в частоте ν в единице телесного угла, даётся формулой

𝐸

_𝑖𝑘

(ν)

=

∬

𝐼

_𝑖𝑘

(𝑥,𝑦,ν)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

.

(28.5)

Пользуясь (28.3) и (28.4), вместо (28.5) находим

𝐸

_𝑖𝑘

(ν)

=

∬

ε_𝑖𝑘

α_𝑖𝑘

⎡

⎢

⎣

1

-

exp

⎛

⎜

⎝

-

2𝑢

|∂𝑣_𝑧 /∂𝑧|

α

_𝑖𝑘

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

.

(28.6)

Интегрирование здесь производится по поверхности (28.1). Формула (28.6) и определяет искомый профиль эмиссионной линии.

Приближённо оболочка может быть разбита на две области: непрозрачную для излучения в рассматриваемой линии и прозрачную для этого излучения. В первой области величина (2𝑢/|∂𝑣_𝑧 /∂𝑧|)α_𝑖𝑘 превосходит единицу, во второй она меньше единицы. Интеграл (28.6) в первой области равен

𝐸

'

𝑖𝑘

=

∬

ε_𝑖𝑘

α_𝑖𝑘

𝑑𝑥

𝑑𝑦

,

(28.7)

а во второй

𝐸

''

𝑖𝑘

=

∬

ε

_𝑖𝑘

2𝑢

|∂𝑣_𝑧 /∂𝑧|

𝑑𝑥

𝑑𝑦

.

(28.8)

Входящие в приведённые формулы величины α_𝑖𝑘 и ε_𝑖𝑘 следующим образом выражаются через концентрацию поглощающих атомов 𝑛_𝑖 концентрацию излучающих атомов 𝑛_𝑘:

ε

_𝑖𝑘

=

𝑛_𝑘𝐴_𝑘𝑖ℎν_𝑖𝑘

4πΔν_𝑖𝑘

,

(28.9)

α

_𝑖𝑘

=

𝑛_𝑖𝐵_𝑖𝑘ℎν_𝑖𝑘

Δν_𝑖𝑘𝑐

⎛

⎜

⎝

1

-

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

𝑛_𝑖

𝑛_𝑘

⎞

⎟

⎠

,

(28.10)

где 𝐴_𝑖𝑘 и 𝐵_𝑖𝑘 —эйнштейновские коэффициенты переходов. Учитывая связь между 𝐴_𝑖𝑘 и 𝐵_𝑖𝑘, получаем

ε

_𝑖𝑘

=

2ℎν

_𝑖𝑘

³

1

.

α

_𝑖𝑘

𝑐²

𝑔

_𝑘

𝑛

_𝑖

-

1

𝑔

_𝑖

𝑛

_𝑘

(28.11)

Соотношение (28.11), как это и должно быть, переходит в формулу Планка, когда 𝑛_𝑘/𝑛_𝑖 определяется формулой Больцмана.

Таким образом, для вычисления профиля эмиссионной линии необходимо знать как распределение скоростей в оболочке, так и распределение поглощающих и излучающих атомов. Ниже будет показано, как могут быть найдены величины 𝑛_𝑖 и 𝑛_𝑘. Тем самым задача о вычислении профилей эмиссионных линий будет решена до конца.

В качестве примера применения формул (28.7) и (28.8) найдём профили эмиссионных линий, образованных оболочкой, расширяющейся с постоянной для всех слоёв скоростью (𝑣=const). Обозначим через 𝑟 расстояние данного объёма от центра звезды и через θ — угол между направлением движения атомов и направлением на наблюдателя. Тогда будем иметь

𝑣

_𝑧

=

𝑣

cos θ

,

∂𝑣_𝑧

∂𝑧

=

𝑣

𝑟

sin²θ

,

(28.12)

а поверхность равных лучевых скоростей, соответствующая частоте ν, будет определяться уравнением

ν

=

ν

_𝑖𝑘

+

ν_𝑖𝑘

𝑐

𝑣

cos θ

.

(28.13)

Допустим сначала, что оболочка прозрачна для излучения в линии. Тогда из формулы (28.8), учитывая, что 𝑑𝑥 𝑑𝑦=2π sin²θ𝑟 𝑑𝑟, получаем

𝐸

''

𝑖𝑘

=

4π

𝑢

𝑣

∫

ε

_𝑖𝑘

𝑟²

𝑑𝑟

.

(28.14)

Таким образом, прозрачная оболочка даёт эмиссионную линию с прямоугольным профилем (т.е. интенсивность внутри линии постоянна). Очевидно, что ширина линии соответствует удвоенной скорости расширения оболочки.

Если оболочка непрозрачна для излучения в линии, то из формулы (28.7) в рассматриваемом случае находим

𝐸

'

𝑖𝑘

=

2π

sin²θ

∫

ε_𝑖𝑘

α_𝑖𝑘

𝑟

𝑑𝑟

.

(28.15)

или, принимая во внимание (28.13),

𝐸

'

𝑖𝑘

=

2π

⎡

⎢

⎣

1

-

⎛

⎜

⎝

ν-ν_𝑖𝑘

ν_𝑖𝑘

𝑐

𝑣

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

∫

ε_𝑖𝑘

α_𝑖𝑘

𝑟

𝑑𝑟

.

(28.16)

Следовательно, непрозрачная оболочка даёт эмиссионную линию с параболическим профилем.

Аналогично могут быть определены профили эмиссионных линий, образованные оболочкой, в которой скорость расширения 𝑣 зависит от 𝑟. Как легко понять, для прозрачной оболочки в этом случае профили линий будут симметричными с интенсивностью, убывающей при удалении от центра линии (так как они получаются наложением друг на друга прямоугольных профилей с различными ширинами). Такие профили очень похожи на профили линий, образованных непрозрачной оболочкой при 𝑣=const. Поэтому прежде чем по профилям линий делать заключения о распределении скоростей в оболочке, необходимо выяснить, прозрачна или непрозрачна оболочка для излучения в линиях.

Для решения указанного вопроса можно рассмотреть несколько эмиссионных линий одного и того же атома в спектре звезды. Очевидно, что в случае прозрачной оболочки профили всех этих линий должны быть подобны друг другу. Если же оболочка частично непрозрачна для излучения в линиях, то для разных линий будут непрозрачны разные части оболочки, вследствие чего и профили рассматриваемых линий должны различаться между собой.