Курс теоретической астрофизики

1. Естественная размытость энергетических уровней атома. Если уровни размыты, то атом может поглощать фотоны одной частоты, а излучать фотоны несколько другой частоты, возвращаясь после процесса рассеяния не точно в исходное состояние. Этот эффект играет роль в случае линий субординатных серий, для которых как верхний, так и нижний уровень являются размытыми. В случае же линий основной серии, для которых нижний уровень может считаться бесконечно тонким (если только атом вследствие каких-либо причин не выводится часто из основного состояния), частота излучённого фотона совпадает с частотой поглощённого фотона.

2. Тепловое движение атомов. Пусть движущийся атом поглотил фотон определённой частоты. Так как этот атом может испустить фотон в любую сторону, то вследствие эффекта Доплера частота излучённого фотона для неподвижного наблюдателя может быть различной. Поэтому частоты поглощённого и излучённого движущимся атомом фотонов, вообще говоря, не совпадают.

3. Эффекты давления. Пусть в момент поглощения атомом фотона вблизи от атома находится возмущающая частица. За время, в течение которого атом пребывает в верхнем состоянии, частица может удалиться от атома, вследствие чего вызываемое ею смещение энергетических уровней изменится. По указанной причине частота излучаемого фотона будет отличаться от частоты поглощённого фотона. При этом разность энергий фотонов унесёт с собой возмущающая частица.

Обозначим через 𝑝(ν,ν')𝑑ν вероятность того, что элементарный объём, поглотив фотоны частоты ν', излучает после этого фотоны в интервале частот от ν до ν+𝑑ν. Функция 𝑝(ν,ν') определяется перечисленными причинами и, вообще говоря, весьма сложна (см., например, [6]).

Мы сейчас не будем заниматься подробным рассмотрением функции 𝑝(ν,ν'), а отметим лишь два частных случая. Допустим сначала, что эффекты давления не играют роли, т.е. функция 𝑝(ν,ν') обусловлена только естественной размытостью уровней (иными словами, затуханием излучения) и тепловым движением атомов. В этом случае для резонансной линии была получена следующая формула, определяющая 𝑝(ν,ν'):

𝑝(ν,ν')

σ

_ν'

=

𝑛𝑘₀

πΔν_𝐷

∞

∫

0

exp

⎛

⎝

-(𝑦+𝑟)²

⎞

⎠

×

×

⎡

⎢

⎣

arctg

𝑦+𝑠

𝑎

+

arctg

𝑦-𝑠

𝑎

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑦

,

(11.1)

где

𝑠

=

𝑢+𝑢'

2

,

𝑟

=

|𝑢+𝑢'|

2

,

(11.2)

σ_ν — объёмный коэффициент поглощения, равный σ_ν=𝑛𝑘_ν. Величина 𝑘_ν определяется формулой (8.17), и прочие величины в (11.1) имеют такой же смысл, что и в (8.17). В точную формулу для 𝑝(ν,ν') входит также угол рассеяния. Формула (11.1) может быть получена из точной формулы путём интегрирования по углу.

В другом частном случае мы предположим, что эффекты давления оказывают основное влияние на вид функции 𝑝(ν,ν'). Если за время жизни атома в возбуждённом состоянии возмущающее поле меняется очень сильно, то можно считать, что частота излучаемого фотона ν не зависит от частоты поглощённого фотона ν'. В этом случае функция 𝑝(ν,ν'), которую мы можем обозначить просто через 𝑝_ν, определяется весьма легко.

Очевидно, что функция 𝑝(ν,ν') должна удовлетворять условию

∫

𝑝(ν,ν')

𝑑ν

=

1,

(11.3)

где интегрирование производится по всем частотам. Кроме того, должно выполняться соотношение

𝑝(ν,ν')

σ

_ν'

=

𝑝(ν',ν)

σ

_ν

,

(11.4)

выражающее «принцип обратимости» для оптических явлений.

Если функция 𝑝(ν,ν') не зависит от ν', то из (11.4) следует, что 𝑝_ν=𝑐σ_ν, где 𝑐 — постоянная. Определяя 𝑐 из формулы (11.3), получаем

𝑝

_ν

=

σ_ν

∫σ_ν'𝑑ν'

.

(11.5)

Мы будем говорить, что в данном случае происходит полное перераспределение излучения по частотам при элементарном акте рассеяния. Такое рассеяние излучения будем называть полностью некогерентным.

Приведённые формулы для функции 𝑝(ν,ν') соответствуют разным значениям давления: при малых давлениях следует пользоваться формулой (11-1), при больших — формулой (11.5). Очевидно, что при изучении диффузии излучения в газовых туманностях должна применяться формула (11.1). В случае же звёздных атмосфер можно, по-видимому, пользоваться формулой (11.5). Однако и в случае туманностей обычно делается предположение о полном перераспределении излучения по частотам, так как некоторые вычисления показали, что замена формулы (11.1) на (11.5) не приводит к большим различиям в результатах.

Используя функцию 𝑝(ν,ν'), мы можем написать выражение для коэффициента излучения ε_ν. Если считать, что в линии происходит чистое рассеяние излучения, то имеем

ε

_ν

=

∫

𝑝(ν,ν')

σ

_ν'

𝑑ν'

∫

𝐼

_ν'

𝑑ω

4π

.

(11.6)

При 𝑝(ν,ν')=δ(ν-ν'), где δ — функция Дирака, из (11.6) следует

ε

_ν

=

σ

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

,

(11.7)

т.е. выражение для ε_ν в случае когерентного рассеяния излучения.

Подставляя в (11.6) выражение для 𝑝(ν,ν'), даваемое формулой (11.5), получаем

∫

σ

_ν'

𝑑ν'

𝐼

_ν'

𝑑ω

ε

_ν

=

σ

_ν

4π

.

∫

σ

_ν'

𝑑ν'

(11.8)

Этой формулой определяется коэффициент излучения при полностью некогерентном рассеянии.

В дальнейшем мы будем считать, что в звёздных атмосферах происходит полностью некогерентное рассеяние излучения в спектральных линиях.

2. Уравнение переноса излучения и его решение.