Курс теоретической астрофизики

Проблема определения химического состава атмосфер звёзд разных типов очень важна как для теории звёздной эволюции, так и для теории образования элементов. Это обусловлено тем, что в недрах звёзд происходят ядерные реакции, при которых одни элементы превращаются в другие. Надо однако иметь в виду, что по содержанию элементов в атмосфере звезды можно судить о химическом составе её недр лишь в случае перемешивания вещества внутри звезды (подробнее см. [11]).

§ 13. Физические условия в атмосферах

1. Возбуждение и ионизация атомов.

Как известно, при термодинамическом равновесии степень возбуждения и ионизации атомов определяется формулами Больцмана и Саха. Строго говоря, в звёздных атмосферах термодинамическое равновесие отсутствует. Однако и в этом случае в качестве первого приближения пользуются всё-таки формулами Больцмана и Саха. Поэтому при рассмотрении физических условий в звёздных атмосферах мы должны прежде всего остановиться на этих формулах.

Пусть 𝐸_𝑖 — энергия 𝑖-го уровня атома и 𝑔_𝑖 — его статистический вес (или кратность уровня). Обозначим через 𝑛_𝑖 число атомов с энергией 𝐸_𝑖 в 1 см² при термодинамическом равновесии. Основная формула статистической физики даёт

𝑛

_𝑖

=

𝐶

𝑔

_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

-

𝐸_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.1)

где 𝐶 — некоторая постоянная.

Из формулы (13.1) получаем

𝑛_𝑖

𝑛₁

=

𝑔_𝑖

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁-χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.2)

где обозначено 𝐸_𝑖-χ_𝑖. Величина χ_𝑖 представляет собой энергию ионизации с 𝑖-го уровня, а величина χ₁-χ_𝑖 — энергию возбуждения этого уровня. Формула (13.2) называется обычно формулой Больцмана.

Формулу (13.1) можно применить и к состояниям с положительной энергией, в которых электрон не связан с атомом. Это даёт возможность найти отношение числа ионов к числу нейтральных атомов. Формула, определяющая это отношение (так называемая формула Саха) имеет вид

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

𝑔⁺

𝑔₁

2(2π𝑚𝑘𝑇)²^/³

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.3)

где 𝑛⁺ — число ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см³, 𝑔⁺ — статистический вес этого состояния, 𝑛_𝑒 — число свободных электронов в 1 см³.

Аналогичные формулы служат и для нахождения числа атомов в следующих стадиях ионизации. В частности, отношение числа дважды ионизованных атомов к числу однажды ионизованных атомов даётся формулой

𝑛

_𝑒

𝑛⁺⁺

𝑛⁺

=

𝑔⁺⁺

𝑔⁺

2(2π𝑚𝑘𝑇)²^/³

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁'

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.4)

где 𝑛⁺⁺ — число дважды ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см³, 𝑔⁺⁺ — статистический вес этого состояния, χ₁' — энергия ионизации из основного состояния однажды ионизованного атома.

Применим в качестве примера приведённые формулы к атому водорода. В данном случае 𝑔_𝑖=2𝑖² и χ_𝑖=χ₁/𝑖². Поэтому формула (13.2) принимает вид

𝑛_𝑖

𝑛₁

=

𝑖²

exp

⎡

⎢

⎣

-

χ₁

𝑘𝑇

⎛

⎜

⎝

1

-

1

𝑖²

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(13.5)

В частности, для второго уровня имеем

𝑛₂

𝑛₁

=

4

exp

⎛

⎜

⎝

-

117 900

𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(13.6)

Из формулы (13.6) следует, что при господствующих в звёздных атмосферах температурах в тысячи кельвинов подавляющее большинство атомов водорода находится в основном состоянии. Однако с увеличением температуры степень возбуждения атомов быстро растёт.

Из формулы (13.5) также видно, как меняется число возбуждённых атомов с увеличением номера уровня 𝑖. Если температура не очень высока, то величина 𝑛_𝑖/𝑛₁ с увеличением 𝑖 сначала убывает, а затем растёт, причём при очень больших 𝑖 она растёт приблизительно пропорционально 𝑖². Отсюда следует, что если бы осуществлялись все уровни атома, то полное число атомов в возбуждённых состояниях было бы бесконечно большим. Однако в действительности из-за возмущений, вызываемых посторонними частицами, высокие уровни атомов не осуществляются. Поэтому число атомов во всех возбуждённых состояниях оказывается обычно гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.

При применении формулы ионизации (13.3) к атому водорода мы должны положить 𝑔⁺=1, 𝑔₁=2, χ₁/𝑘=157 200. В результате находим

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

2,4⋅10¹⁵

𝑇²

^/

³

exp

⎛

⎜

⎝

-

157 200

𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(13.7)

Степень ионизации зависит не только от температуры 𝑇 но и от концентрации свободных электронов 𝑛_𝑒. Поскольку же значение 𝑛_𝑒 в звёздных атмосферах сравнительно мало, то даже при не очень высоких температурах степень ионизации может быть большой. Например, полагая 𝑛_𝑒≈10¹², из формулы (13.7) получаем, что уже при 𝑇≈10 000 K значение 𝑛⁺/𝑛₁ для водорода будет порядка 300.

При практических расчётах формула ионизации (13.3) часто используется в виде

𝑝

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

2

𝑔⁺

𝑔₁

(2π𝑚)³^/²(𝑘𝑇)⁵^/²

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.8)

где 𝑝_𝑒 — электронное давление, равное

𝑝

_𝑒

=

𝑛

_𝑒

𝑘𝑇

.

(13.9)

Производя логарифмирование, вместо (13.8) получаем

lg

𝑝

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=-

5040

𝑇

χ₁

+

2,5

lg

𝑇

-

0,48

+

lg

2𝑔⁺

𝑔₁

.

(13.10)

Здесь электронное давление 𝑝_𝑒 выражено в барах (1 бар = 1 дина/см²), а энергия ионизации — в электронвольтах. Под электронвольтом понимается энергия, которую приобретает электрон при прохождении разности потенциалов в 1 вольт (1 эВ = 1,60⋅10⁻¹² эрг).