Курс теоретической астрофизики

Для коэффициента поглощения 𝑘_ν мы возьмём выражение (8.18). Так как интеграл (12.7) в общем виде не берётся, то мы рассмотрим три частных случая, соответствующих трём участкам кривой роста.

1. Пусть 𝑁 мало, так что 𝑘_ν𝑁≪1 для всех частот. В этом случае формулу (12.7) можно переписать в виде

𝑊

=

𝑁

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

.

(12.8)

Подставляя сюда выражение (8.18), получаем

𝑊

=

√

π

ν₀𝑣

𝑐

𝑘₀

𝑁

.

(12.9)

Эта формула справедлива только для очень слабых линий.

2. Пусть 𝑁 велико, так что 𝑘_ν₀𝑁≫1, но 𝑘_ν𝑁≪1 в тех частях линии, где 𝑘_ν определяется затуханием излучения. В данном случае для 𝑘_ν можно взять выражение (8.24). Подставляя его в формулу (12.7), имеем

𝑊

=

𝑘₀

𝑁

ν₀𝑣

𝑐

+∞

∫

-∞

𝑒^-𝑢²𝑑𝑢

1+𝑘₀𝑁𝑒^-𝑢²

.

(12.10)

Приближённое вычисление интеграла даёт

𝑊

=

2

ν₀𝑣

𝑐

√

ln 𝑘₀𝑁

.

(12.11)

Заметим, что формула (12.11) может быть также получена из следующих соображений. Найдём то расстояние Δν от центра линии, на котором 𝑟_ν=½. Согласно формуле (10.19), на этом расстоянии должно быть 𝑘_ν𝑁=1 или

𝑘₀

𝑁

exp

-

⎛

⎜

⎝

𝑐

𝑣

Δν

ν₀

⎞²

⎟

⎠

=

1.

(12.12)

Отсюда находим

Δ

ν

=

ν₀

𝑣

𝑐

√

ln 𝑘₀𝑁

.

(12.13)

Так как приближённо 𝑊=2Δν, то мы снова приходим к формуле (12.11).

3. Пусть, наконец, 𝑁 настолько велико, что неравенство 𝑘_ν𝑁≫1 осуществляется даже в тех далёких от центра частях линии, где 𝑘_ν определяется затуханием излучения. Очевидно, что в данном случае для вычисления интеграла (12.7) на всем протяжении линии можно пользоваться для 𝑘_ν выражением (8.25). Подставляя (8.25) в (12.7), получаем

𝑊

=

𝑎

𝑘₀𝑁

ν₀𝑣

+∞

∫

-∞

𝑑𝑢

,

√

π

𝑐

𝑢²

+

𝑎

𝑘₀𝑁

√

π

(12.14)

или, после интегрирования,

𝑊

=

π³

^/

⁴

ν₀𝑣

𝑐

√

𝑎𝑘₀𝑁

.

(12.15)

Суммируя полученные результаты, можем сказать, что эквивалентная ширина линии 𝑊 растёт с увеличением числа поглощающих атомов сначала как 𝑁, затем приблизительно как √ln 𝑁 и, наконец, как √𝑁.

При практическом использовании зависимости между 𝑊 и 𝑁 обычно её несколько преобразуют. Прежде всего, от эквивалентной ширины в шкале частот 𝑊_ν (её мы выше обозначали просто через 𝑊) переходят к эквивалентной ширине в шкале длин волн 𝑊_λ. Эти величины связаны между собой очевидным соотношением

𝑊_λ

λ

=

𝑊_ν

ν

.

(12.16)

Далее, от числа поглощающих атомов 𝑁 переходят к величине

𝑋₀

=

𝑘₀𝑁

,

(12.17)

представляющей собой приближённо оптическую толщину атмосферы в центре линии (так как 𝑘_ν₀ мало отличается от 𝑘₀ при 𝑎≪1).

Учитывая сказанное, можно переписать полученные выше формулы в следующем виде: при малых 𝑋₀

𝑊_λ

λ

=

√

π

𝑣

𝑐

𝑋₀

,

(12.18)

при больших 𝑋₀

𝑊_λ

λ

=

2

𝑣

𝑐

√

ln 𝑋₀

,

(12.19)

при очень больших 𝑋₀

𝑊_λ

λ

=

π³

^/

⁴

𝑣

𝑐

√

𝑎 𝑋₀

.

(12.20)

Вместо последней формулы мы можем также написать

𝑊_λ

λ

=

π¹^/⁴

2

⎛

⎜

⎝

𝑣Γ

𝑐ν₀

𝑋₀

⎞½

⎟

⎠

,

(12.21)

где Γ — постоянная затухания (обусловленная как затуханием вследствие излучения, так и затуханием вследствие столкновений). Здесь мы воспользовались соотношением

𝑎

=

𝑐Γ

4πν₀𝑣

(12.22)

вытекающим из определения величины 𝑎, даваемого формулой (8.27).

Как уже сказано, кривая, представляющая зависимость 𝑊 от 𝑁 (или ln 𝑊_λ/λ от ln 𝑋₀), называется кривой роста. Для построения кривых роста пользуются как приведёнными выше формулами (12.18) — (12.20), так и результатами численного определения интеграла (12.7) для промежуточных значений 𝑋₀.

Все кривые роста составляют семейство, зависящее от двух параметров: средней скорости хаотического движения атомов 𝑣 и постоянной затухания Γ (или величины 𝑎).

3. Кривая роста для модели Эддингтона.

Для получения зависимости эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Эддингтона мы должны взять для 𝑟_ν выражение (10.37) [или более общее выражение (10.52)]. Подставляя это выражение в формулу (12.7), можно получить зависимость 𝑊 от 𝑘₀𝑛/α_ν. Мы не будем производить вычислений, а приведём лишь их результат. Оказывается, что эквивалентная ширина линии 𝑊 сначала растёт как 𝑘₀𝑛/α_ν, затем как

⎛

⎜

⎝

ln

𝑘₀

𝑛

α_ν

⎞½

⎟

⎠

и, наконец, как √𝑘₀𝑛/α_ν. Иными словами, кривая роста в случае модели Эддингтона имеет приблизительно такой же вид, как и в случае модели Шварцшильда — Шустера. Напомним, что величина 𝑛/α_ν по своему физическому смыслу аналогична величине 𝑁.

Пользуясь точным выражением для величины 𝑟_ν, даваемым формулой (10.72), мы можем получить точную кривую роста для модели Эддингтона. Допустим для простоты, что флуоресценция отсутствует, т.е. γ=0. В таком случае формула (10.72) принимает вид

𝑟

_ν

(μ)

=

φ_ν(μ)

(1+β_ν⃰μ)√1+η_ν

×

×

⎡

⎢

⎣

1+

β_ν⃰

1+η_ν

⎛

⎜

⎝

μ+

α_ν1η_ν

2√1+η_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(12.23)

где η_ν=𝑘_ν𝑛/α_ν, функция φ_ν(μ) определяется уравнением (10.67) и α_ν1 — её первый момент.

Формулой (12.23) определяется профиль линии на угловом расстоянии arccos μ от центра диска. При помощи этой формулы можно получить следующее выражение для величины 𝑟_ν, определяющей профиль линии в спектре всей звезды:

𝑟

_ν

=

1

×

⎛

⎜

⎝

1

+

1

β

_ν

⃰

⎞

⎟

⎠

√

1+η

_ν

2

3

×

⎡

⎢

⎣

α

_ν2

+

β

_ν

⃰

⎛

⎜

⎝

α

_ν2

+

α

_ν1

²η

_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

1+η

_ν

2+√

1+η

_ν

(12.24)

где α_ν2 — второй момент функции φ_ν(μ).

Подстановка выражения (12.23) или (12.24) в формулу (12.7) и выполнение интегрирования должно дать искомую кривую роста. Указанное интегрирование было численно произведено Врубелем, который привёл свои результаты в виде таблиц и графиков.

Рис. 12