Курс теоретической астрофизики

Изложенные качественные соображения подтверждаются соответствующими расчётами. Они основаны на использовании формул Больцмана и Саха, определяющих степень возбуждения и ионизации атомов. Как мы помним, эти формулы имеют вид

𝑛_𝑖

𝑛₁

=

𝑔_𝑖

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁-χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(14.1)

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

ƒ

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(14.2)

где

ƒ

=

𝑔⁺

𝑔₁

2(2π𝑚𝑘𝑇)²^/³

ℎ³

.

(14.3)

Именно в результате применения формул (14.1) и (14.2) к звёздным атмосферам Саха в 1921 г. объяснил спектральную классификацию.

Применим указанные формулы к вычислению зависимости эквивалентной ширины линии от температуры. Как и выше, рассмотрим линию, возникающую при переходе электрона из возбуждённого состояния нейтрального атома. При принятии модели Эддингтона эквивалентная ширина линии будет тем больше, чем больше отношение 𝑛_𝑖/α_ν, где 𝑛_𝑖, — число атомов в 𝑖-м состоянии в 1 см³ и α_ν — объёмный коэффициент поглощения в непрерывном спектре (см. §12). Представим величину α_ν в виде

α

_ν

=

ϰ

_ν

ρ

,

(14.4)

где ϰ_ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и ρ — плотность. Обозначим далее через 𝑞 долю данного элемента в общей плотности ρ, т.е. положим

𝑞ρ

=

𝑚

_𝑎

𝑛

,

(14.5)

где 𝑛 — полное число атомов данного элемента в 1 см³, а 𝑚_𝑎 — масса одного атома. При помощи (14.4) и (14.5) получаем

𝑛_𝑖

α_ν

=

𝑞

𝑚_𝑎ϰ_ν

𝑛_𝑖

𝑛

.

(14.6)

Будем считать, что 𝑛=𝑛₁+𝑛⁺, т.е. пренебрежём числом возбуждённых атомов, а также числом дважды ионизованных атомов. Тогда, пользуясь формулами (14.1) и (14.2), находим

𝑛_𝑖

α_ν

=

𝑞

𝑚_𝑎ϰ_ν

𝑔_𝑖

𝑔₁ exp

⎛

⎜

⎝ -

χ₁-χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

1 +

ƒ

𝑛_𝑒 exp

⎛

⎜

⎝ -

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(14.7)

Эта формула и выражает зависимость величины 𝑛_𝑖/α_ν от температуры 𝑇. При помощи кривой роста, связывающей эквивалентную ширину линии 𝑊 и величину 𝑛_𝑖/α_ν, мы можем найти также зависимость 𝑊 от 𝑇.

Аналогичные формулы могут быть получены и для линий ионизованных атомов.

Из сказанного вытекает, что по виду звёздного спектра (точнее говоря, по эквивалентным ширинам линий поглощения) может быть определена температура звёздной атмосферы. Такая температура называется ионизационной.

Для определения ионизационных температур Фаулер и Милн предложили следующий способ. Пользуясь формулой (14.7), найдём ту температуру, при которой величина 𝑛_𝑖/α_ν (а значит, и величина 𝑊) имеет максимум, и припишем эту температуру звезде того спектрального класса, в котором данная линия действительно достигает наибольшей эквивалентной ширины. Считая, что ϰ_ν=const и 𝑝_𝑒=𝑛_𝑒𝑘𝑇=const, из формулы (14.7) получаем для определения ионизационной температуры следующее уравнение:

𝑝

_𝑒

=

χ_𝑖+(⁵/₂)𝑘𝑇

χ₁-χ_𝑖

ƒ𝑘𝑇

exp

⎛

⎜

⎝

-

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(14.8)

Названные авторы, решив уравнение (14.8) (и аналогичные уравнения для линий ионизованных атомов) относительно 𝑇 и сопоставив найденные значения 𝑇 с данными наблюдений, получили шкалу ионизационных температур. Часть их результатов приведена в табл. 16. В ней для всех звёзд принято 𝑝_𝑒=10⁻⁶ атм.

Таблица 16

Ионизационные температуры звёзд

Спектральный

класс

Максимум

линии

Ионизационная

температура, K

K5

𝙽𝚊, 1²𝑃-𝑚²𝐷

 3

900

G5

𝙼𝚐, 1³𝑃-𝑚³𝑆

 5

250

G0

𝙲𝚊 II, 1²𝑇-𝑚²𝑃

 6

290

A0

𝙷

, серия Бальмера

10

000

B2

𝙷𝚎, 2³𝑃-𝑚²𝐷

16

100

B1

𝚂𝚒 III, 𝙾 II

19

000

O5

𝙷𝚎 II, λ 4686

, серия Пикеринга

35

000

Однако найденные указанным способом ионизационные температуры лишь грубо соответствуют действительности. На самом деле величина 𝑛_𝑖/α_ν зависит не только от температуры 𝑇, но и от параметров ϰ_ν и 𝑛_𝑒. В свою очередь эти параметры выражаются через температуру 𝑇 и ускорение силы тяжести 𝑔. Поэтому и эквивалентная ширина линии зависит не только от 𝑇, но и от 𝑔. Разумеется, величина 𝑊 зависит от 𝑇 гораздо сильнее, чем от 𝑔, что и объясняет существование линейной последовательности звёздных спектров в первом приближении. Но и зависимость 𝑊 от 𝑔 также должна приниматься во внимание.

2. Влияние ускорения силы тяжести на спектр.

При помощи формулы (14.7) можно построить графики, дающие эквивалентную ширину линии 𝑊 в виде функции от температуры 𝑇. Эти графики различны для разных значений ускорения силы тяжести 𝑔 (вследствие зависимости величин ϰ_ν и 𝑛_𝑒 не только от 𝑇, но и от 𝑔). При этом оказывается, что чем больше 𝑔, тем большая температура требуется для достижения линией максимальной эквивалентной ширины.