Курс теоретической астрофизики

где 𝐵_ν(𝑇) — планковская интенсивность при температуре 𝑇 и τ_ν — оптическая глубина в частоте ν. Считая температуру 𝑇 функцией от τ_ν, мы можем рассматривать соотношение (15.1) как интегральное уравнение для определения величины 𝐵_ν(𝑇).

Для получения приближённого решения уравнения (15.1) величину 𝐵_ν(𝑇) обычно представляют в виде разложения по некоторым функциям от τ_ν с неопределёнными коэффициентами. Например, можно положить

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

τ

_ν

+

𝑐

_ν

τ

_ν

²

.

(15.2)

Подставляя (15.2) в (15.1) и интегрируя, находим

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

cos

θ

+2

𝑐

_ν

cos²

θ

.

(15.3)

Коэффициенты 𝑎_ν 𝑏_ν и 𝑐_ν определяются по полученным из наблюдений значениям величины 𝐼_ν(0,θ). Вместо выражения (15.2) можно пользоваться формулой:

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

τ

_ν

+

𝑐

_ν

𝐸₂

τ

_ν

,

(15.4)

дающей более правильные результаты как при τ_ν→0, так и при τ_ν→∞. Подставляя (15.4) в (15.1), имеем

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

cos

θ

+

+

𝑐

_ν

⎡

⎣

1-cos

θ

ln(1+sec

θ)

⎤

⎦

.

(15.5)

Формулы (15.2) и (15.4) связывают между собой величины τ_ν и 𝑇, т.е. дают оптические глубины в разных частотах на одном и том же уровне в фотосфере (характеризуемом температурой 𝑇). На основании определения оптической глубины мы имеем

α

_ν

=-

𝑑τ_ν

𝑑𝑟

=-

𝑑τ_ν

𝑑𝑇

⋅

𝑑𝑇

𝑑𝑟

.

(15.6)

Следовательно, если известна величина τ_ν как функция от 𝑇, то можно найти и величину α_ν как функцию от 𝑇 (с точностью до постоянного для данного слоя множителя 𝑑𝑇/𝑑𝑟). Тем самым находится эмпирическая зависимость α_ν от частоты ν на разных глубинах.

Полученная указанным способом зависимость α_ν от ν была сопоставлена с теоретическим выражением для α_ν, обусловленным отрицательным ионом водорода. Такое сопоставление с несомненностью подтвердило правильность принимаемого источника поглощения в фотосфере Солнца.

После определения зависимости температуры 𝑇 от τ_ν может быть найдена и зависимость давления 𝑝 от τ_ν. Для этого мы должны воспользоваться уравнением гидростатического равновесия (4.42), которое вместе с уравнением (15.6) даёт

𝑑𝑝

𝑑τ_ν

=

𝑔ρ

α_ν

.

(15.7)

Для коэффициента поглощения α_ν возьмём теоретическое выражение (5.14), представив его в виде α_ν=ρ𝑝_𝑒ƒ_ν(𝑇) (так как 𝑛₁=ρ/𝑚_H вследствие слабой ионизации водорода в солнечной фотосфере). Поэтому вместо уравнения (15.7) получаем

𝑑𝑝

𝑑τ_ν

=

𝑔

𝑝_𝑒ƒ_ν(𝑇)

.

(15.8)

При заданном химическом составе электронное давление 𝑝_𝑒 может быть выражено через 𝑝 и 𝑇 при помощи формулы ионизации. Это позволяет проинтегрировать уравнение (15.8), т.е. найти 𝑝 в виде функции от τ_ν. После этого плотность ρ находится из уравнения состояния газа. Для установления связи между оптическими и геометрическими расстояниями в фотосфере можно применить соотношение

𝑟-𝑟₀

=-

∫

𝑑τ_ν

α_ν

,

(15.9)

где 𝑟₀ — произвольная постоянная. Так как α_ν зависит от 𝑝 и 𝑇, то для выполнения интегрирования в (15.9) надо использовать найденные выражения этих величин через τ_ν.

Эмпирические модели солнечной фотосферы в общих чертах согласуются с теоретическими моделями, однако между ними имеются и различия. Отчасти эти различия вызваны тем, что в работах по теории фотосфер не вполне точно учитывались некоторые существенные явления (покровный эффект, конвекция и др.).

2. Конвекция и грануляция.

В теории звёздных фотосфер обычно предполагается, что в фотосфере осуществляется лучистое равновесие. Такое предположение мы сделали в гл. I, и на его основе определялась структура фотосферы и рассчитывалось поле излучения в ней. В частности, приведённые в табл. 18 результаты расчёта модели фотосферы Солнца были получены при допущении о лучистом равновесии фотосферы. Однако возникает вопрос о том, будет ли такое состояние фотосферы устойчивым, т.е. будет ли элемент объёма, выведенный каким-либо образом из своего равновесного положения, возвращаться в него под действием существующих в фотосфере сил. Если этого не будет, то в фотосфере возникнут перемещения газовых масс, т.е. конвекция.

Найдём условие наступления конвекции в фотосфере. Для этого допустим, что некоторый элементарный объём испытывает перемещение снизу вверх. Будем считать, что объём при этом перемещении расширяется адиабатически. Тогда температура и плотность в объёме будут изменяться определённым образом (согласно уравнениям адиабаты). Если температура в объёме окажется ниже температуры окружающего газа (а значит, плотность в объёме больше плотности этого газа), то под действием тяготения объём вернётся в исходное положение. Если же температура в объёме окажется выше температуры окружающего газа, то объём будет продолжать подниматься. В последнем случае наступает конвекция.

Таким образом, условие наступления конвекции состоит в том, что адиабатический градиент температуры должен быть меньше градиента температуры при лучистом равновесии, т.е.

⎪

⎪

⎪

𝑑𝑇

𝑑𝑟

⎪

⎪

⎪ад

<

⎪

⎪

⎪

𝑑𝑇

𝑑𝑟

⎪

⎪

⎪луч

.

(15.10)

Полученное неравенство можно привести к более удобному виду. Для этого воспользуемся уравнением гидростатического равновесия (4.42) и уравнением состояния идеального газа (4.43). Из указанных уравнений вытекает

𝑑𝑝

𝑑𝑟

=-

𝑔μ𝑝

𝑅_∗𝑇

.

(15.11)

Поэтому находим

-

𝑑𝑇

𝑑𝑟

=-

𝑑𝑇

𝑑𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑟

=

𝑔𝑝

𝑅_∗

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

.

(15.12)

Следовательно, вместо (15.10) имеем

⎛

⎜

⎝

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

⎞

⎟

⎠ад

<

⎛

⎜

⎝