Квант

Вначале Бор планировал провести в Манчестере всего год. Но он все еще был там, когда в мае 1916 года получил формальное приглашение занять учрежденную наконец должность профессора теоретической физики Копенгагенского университета. Работы Бора завоевали широкое признание, что и позволило ему занять этот пост. Но, несмотря на успех, оставались вопросы, ответить на которые с помощью квантового атома не удавалось. Результаты расчетов для атомов с числом электронов больше единицы не совпадали с экспериментами. Не получалось описать даже гелий, у которого всего два электрона. Хуже того, согласно модели атома Бора должны были существовать спектральные линии, которые обнаружить не удавалось. И хотя чтобы объяснить, почему одни спектральные линии можно наблюдать, а другие нет, пришлось придумать специальные “правила отбора”, к концу 1914 года были признаны все основные постулаты теории Бора. А именно: существуют дискретные уровни энергии, имеет место квантование углового момента орбитальных электронов, ясна причина происхождения спектральных линий. Однако было ясно, что если, даже придумав новое правило, не удается объяснить существование хоть одной спектральной линии, значит, что-то неладно с самим квантовым атомом.

В 1892 году появились достаточно точные приборы, позволившие определить, что красная α- и голубая γ-линии серии Бальмера суть не отдельные линии: каждая из них расщепляется на две. Более двадцати лет оставался открытым вопрос: являются ли эти пары линий “истинным дуплетом” или нет. Бор считал, что нет. Но в начале 1915 года ему пришлось изменить свое мнение. В результате новых экспериментов выяснилось, что все три линии Бальмера — красная, голубая и фиолетовая — дуплеты. Расщепление спектральных линий называют “тонкой структурой”. Объяснить ее, используя свою модель атома, Бор не мог. Утвердившись в новой для себя должности профессора Копенгагенского университета, Бор обнаружил, что его ожидает целая кипа статей одного немецкого физика, которому удалось решить эту задачу, “подкорректировав” его квантовый атом.

Арнольду Зоммерфельду, известному физику-теоретику, профессору Мюнхенского университета, тогда было сорок восемь лет. Ему удалось превратить Мюнхен в бурно развивающийся центр теоретической физики. Многие годы ряд блестящих молодых физиков и подающих надежды студентов работали под его руководством. Как и Бор, он любил кататься на лыжах и часто приглашал студентов и коллег в свой дом в Баварских Альпах покататься и поговорить о физике. В 1908 году Эйнштейн, еще работавший в патентном бюро, написал Зоммерфельду: “Смею Вас уверить, если бы я оказался в Мюнхене и мог бы свободно распоряжаться своим временем, я стал бы посещать Ваши лекции, чтобы усовершенствовать свои познания в математической физике”⁴⁸. Этот был явный комплимент: письмо написал человек, заслуживший от своего цюрихского преподавателя математики характеристику “отъявленного лентяя”.

Для упрощения задачи Бор предположил, что движение электронов вокруг ядра происходит только по круговым орбитам. Зоммерфельд посчитал, что это ограничение можно снять. Он разрешил электронам, как планетам вокруг солнца, двигаться по эллипсоидальным орбитам. Зоммерфельд знал, что с точки зрения математики окружность — это специальный случай эллипса. Поэтому круговые орбиты, по которым двигаются электроны, — это только подмножество всех возможных квантованных эллипсоидальных орбит. Квантовое число п в модели Бора определяет стационарное состояние, разрешенную круговую орбиту электрона, и соответствующий этому состоянию энергетический уровень. Значение п также определяет и радиус данной орбиты. Однако чтобы определить форму эллипса, требуются два числа. Поэтому, чтобы проквантовать эллипсоиды, Зоммерфельд ввел еще одно “орбитальное” квантовое число k. Из всех возможных эллипсоидальных орбит число k отбирает те, которые разрешены при данном значении п.

В модифицированной модели Зоммерфельда главное квантовое число n определяет допустимые значения k⁴⁹. Если n = 1, то k = 1; когда n = 2, то возможны значения k = 1 и k = 2; при n = 3 значения k = 1,2,3. Для заданного значения n число k может принимать все целочисленные значения от единицы до n. Все орбиты при k = n являются круговыми. Однако если k меньше n, то орбита — эллипс. Например, когда n = 1 и k = 1, орбита — это окружность, радиус которой r называется боровским радиусом. Если n = 2, а k = 1, то орбита — эллипс. Но если n = 2 и k = 2, то орбита — окружность, радиус которой равен 4r. Таким образом, если атом водорода находится в квантовом состоянии n = 2, его единственный электрон может находиться на одной из двух орбит, где k = 1 или k = 2. В состоянии с n = 3 электрон может находиться на одной из трех орбит. Эти орбиты суть эллипс при n = 3 и k = 1; эллипс — при n = 3 и k = 2; окружность — при n = 3 и k = 3. В модели Бора при n = 3 только одна разрешенная орбита, а в модифицированной модели Зоммерфельда таких орбит три. Эти дополнительные стационарные состояния позволяют объяснить расщепление линий серии Бальмера.