Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Мы видим, что в пределе -q^2/N-> существенный (фактически главный) вклад в массу -мезона возникает от вакуумного среднего _sG². Таким образом, оказывается возможным в некотором смысле воспроизвести массы , , ,…, используя "конституентные" массы, имеющие величину порядка _sG^{2 1/4} . Мы не будем более углубляться в этот вопрос, а сделаем лишь два замечания. Во-первых, использование "конституентных" масс в лучшем случае является грубым приближением. Это обусловлено тем, что вклад вакуумного среднего _sG² зависит от спина операторов (в нашем примере от спина оператора ), с которыми оно связано; в общем случае этот вклад оказывается различным для разных частиц типа -- и f⁰-мезонов. Во-вторых, в настоящее время выполнены вычисления более чем 50 адронных масс и параметров. Достигнутое согласие с экспериментом кажется впечатляющим, если вспомнить, что для этого требуется весьма ограниченное число параметров — массы кварков (u, d, s, c и b), параметр и значения вакуумных средних _sG² и qq. При этом последние три параметра могут быть взяты из других источников.

В заключение этого параграфа приведем пример конкретного вычисления непертурбативного вклада, а именно вклада в поляризационный оператор (q), обусловленного кварковым конденсатом ss. Из формулы (36.1) имеем

(q)=iC

₂

d

⁴

x

e

^iq·x

T

s

(x)

s(x)

s

(0)

s(0)

_vac

.

(36.5)

Таким образом,

(q)=-iC

₂

d

^D

k

Tr

S

_s

(k)

S

_s

(k+q).

(36.6)

Рассмотрев только пертурбативную часть кваркового пропагатора S_s=S_P, мы получили бы часть поляризационного оператора

^P

(q)

=

8C

₂

n

_c

6

·

1

16^2

(-g

q

²

+q

q

)

x

(N

-log q

²

+ конечные члены + O(m

₂

^s

)).

(36.7)

Непертурбативную часть поляризационного оператора мы получим, использовав в формуле (36.6) полное выражение для кваркового пропагатора S_s=S_P+S_NP . Ведущим является смешанный член

^NP

=

-iC

₂

d

^D

k

Tr{

S

_NP

(k)

S

_P

(k+q)

+

S

_P

(k)

S

_NP

(k+q)},

(36.8)

где S_NP описывается (в ведущем порядке) выражением (35.3), a S_P(k)=i(k-m_s). Выполняя необходимые вычисления, получаем

^NP

=

-2C

₂

m

_s

s

s

_vac

(-g

q

²

+q

q

),

как уже было показано в формуле (36.4).

§ 37. Проблема U(1); глюонная аномалия

В § 33 в связи с распадом ⁰-> мы рассмотрели треугольную аномалию. Там отмечалось, что эта аномалия не ограничивается фотонами. В частности, имеется глюонная аномалия. Определив ток формулой

A

⁰

=

_n

^f=1

q

_f

₅

q

_f

,

(37.1)

получим, что он также обладает аномалией

A

⁰

=i

_n

^f=1

q

_f

₅

q

_f

+

ng^2

16^2

G

G,

(37.2)

где дуальный тензор G удовлетворяет соотношениям

G

^a

1/2

G

_a

,

G

G

 

^a

G

^a

G

_a

Ток (37.1) представляет собой так называемый U(1)-ток, необычный во многих отношениях (являющийся чистым синглетом по группе аромата). В частности, с ним связана так называемая проблема U(1), к обсуждению которой мы переходим.

Предположим, что имеется n легких кварков; рассмотрим только их, а возможным существованием тяжелых кварков (не относящихся к изучаемой проблеме) пренебрежем. Можно взять два легких кварка n=2(u,d) и обсуждать "проблему SU(2)U(1)" или три легких кварка n=3(u,d,s) и говорить о "проблеме SU(3)U(1)". Возьмем n^2-1 матриц, действующих в пространстве ароматов ₁,…,_n²-1 . Для группы SU(3) они совпадают с матрицами Гелл-Манна, а для группы SU(2) - с матрицами Паули. Любую эрмитову матрицу размерности nxn можно выразить в виде комбинации n^2 матриц ₁,…,_n²-1, ₀1. Удобно принять, что индексы a, b, c пробегают ряд значений от 1 до n-1 а индексы , , принимают значения 0,1,…,n^2-1. Благодаря только что сформулированному свойству полноты матриц _i достаточно рассмотреть токи

A

=

q

_f

₅

^ff'

q

_f'

;

из них, конечно, только ток A₀ обладает аномалией. Пусть N₁(x),…,N_k(x) — локальные операторы (простые или составные). Рассмотрим теперь величину

vac|TA

(x)

 

^j

N

_j

(x

_j

)|vac

(37.3)

В случае /=0 из теоремы Голдстоуна следует, что в киральном пределе массы псевдоскалярных частиц P_a , имеющих квантовые числа токов A_a , равны нулю. Вводя общий для всех кварковых масс параметр и полагая m_f=r_f где коэффициент r_f(f=1,…,n) в киральном пределе остается постоянным, получаем

m

₂

^a

m

₂

^P_a

.

(37.4)

Это было показано в § 31 (уравнения (31.4) и (31.5)). Следовательно, в этом пределе выражение (37.3) при =a имеет полюс в точке q^2=0. Точнее говоря, это означает, что в киральном пределе, т.е. при нулевых значениях масс кварков, справедливо равенство

 

lim

q->0

d

⁴

x

e

^iq·x

vac|TA

(x)

 

^j

N

_j

(x)

_j

|vac

(constant)q

1

q^2

.

(37.5)