Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Если пренебречь аномалиями, то вывод формулы (37.4) можно повторить и для случая =0, откуда мы получили бы, что частица U(1) также в киральном пределе имеет нулевую массу [145]. В действительности это утверждение более точно сформулировано в работе [259], где получено неравенство m₀=n. Это неравенство свидетельствует о неправильности всех наших построений, так как для группы SU(2) выполняется соотношение m>>2m . Для группы SU(2) масса m_' также нарушает это ограничение. В дополнение к этому было доказано [50], что при таких условиях распад ->3 и запрещен, что также противоречит эксперименту. Следовательно, нужно предположить, что выражение (37.3) для случая =0 в пределе ->0 остается регулярным. Если бы мы могли доказать это, мы бы решили проблему U(1). Этот вопрос подробнее обсуждается несколько ниже; здесь же мы просто предположим, что U(1)-бозонов не существует, не задаваясь вопросом, можно ли доказать это в рамках КХД. Совершенно очевидно, что, если бы не было аномалии, это предположение было бы противоречивым. Поэтому, возможно, полезно проследить, к каким результатам приводит одновременное отсутствие голдстоуновских бозонов P₀ и наличие аномалии в токе A₀. В решении этого вопроса мы следуем прекрасному обзору [82].

Определенный формулой (37.1) ток A₀ инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям, но в киральном пределе не инвариантен по отношению к преобразованиям группы U(1) вследствие аномалии, содержащейся в выражении (37.2). Как было показано для абелевых групп в работе [7], а для общего случая в работе [25], можно построить другой, инвариантный относительно преобразований группы U(1) ток:

^A

⁰

=

A

⁰

-2nK

,

(37.6)

где введен чисто глюонный ток

K

=

2g^2

32^2

B

_a

B

_a

+

1

3

f

_abc

B

_b

B

_c

.

(37.7)

В правильности этого выражения легко убедиться, заметив, что

K

=

g^2

32^2

G

G

(37.8)

так что из формулы (37.2) в киральном пределе получаем

^A

⁰

=0.

(37.9)

Следует отметить, что ток K, удовлетворяющий уравнению (37.8), определен неоднозначно, так как он зависит от используемой калибровки. В принципе выражение (37.6) записано для "голых" величин, но всегда можно провести перенормировку таким образом, что оно останется справедливым и для "одетых" величин. Конечно, причина состоит в том, что аномалия не перенормируется.

Генератором преобразований U(1) должен быть сохраняющийся ток, а именно ток ^A₀ . Следовательно, можно определить киралъностъ соотношением

(x

⁰

-y

⁰

)

^A

₀

⁰

(x),N

_j

(y)

=

-

_j

(x-y)N

_j

(y),

(37.10а)

или в интегральном виде

Q

₀

,N

_j

=-

_j

N

_j

,

(37.10б)

где U(1)-киральный заряд имеет вид

Q

₀

=

dx

^A

₀

⁰

(x).

(37.11)

Так как ток ^A удовлетворяет уравнению (37.9), киральный заряд Q₀ не зависит от времени, и, следовательно, можно ожидать, что не только соотношение (37.10) имеет смысл, но и числа _j не изменяются в процессе перенормировки. Чтобы доказать это более формально, рассмотрим вакуумное среднее

vac|T^A

⁰

(x)

 

^j

N

_j

(x

_j

)|vac,

и применим к нему оператор дифференцирования . Мы получим тождество Уорда

vac|T^A

⁰

(x)

 

^j

N

_j

(x

_j

)|vac,

=-

 

^l

_l

(x-x

_l

)

vac|T

 

^j

N

_j

(x

_j

)|vac;

(37.12)

при выводе мы использовали соотношения (37.9) и (37.10а). Так как ток ^A (частично) сохраняется, то, как мы уже знаем, он не изменяется в процессе перенормировок, и величина также должна обладать этими свойствами. В § 38 будет показано, что соотношение (37.12) и отсутствие U(1)-бозонов приводят к довольно специфическим свойствам вакуума квантовой хромодинамики.

§ 38. Параметр , вакуум КХД, эффект безмассовых кварков и решение проблемы U(1)

До сих пор мы пользовались лагранжианом КХД (опуская члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад духов)

L=

 

^q

q

(i

D

-m)q-

1

4

GG.

(38.1)

Зададимся теперь вопросом: какие изменения возникнут при добавлении к лагранжиану (38.1) дополнительного члена

L

₁

=-

g^2

32^2

G

G,

(38.2а)

так что полный лагранжиан имеет вид

L

=L+L

₁

.

(38.2б)

В действительности последний член является единственным членом, совместимым с требованиями калибровочной инвариантности и перенормируемости, который может быть добавлен к лагранжиану (38.1). Кроме того, как было показано в § 37, он представляет собой 4-дивергенцию и, следовательно, не приводит к изменению уравнений движения. Конечно, от этого члена можно избавиться, положив параметр равным нулю, однако, хотя и есть указания на то, что значение параметра очень мало, существуют также причины, по которым оно может быть не равным нулю. Во всяком случае интересно выяснить следствия выбора более общего выражения (38.2) для лагранжиана КХД.

Так как мы добавили новое взаимодействие, следует ожидать, что теперь физический вакуум будет зависеть от значения параметра ; поэтому мы будем использовать для него обозначение |. Следующая наша задача состоит в исследовании зависимости функций Грина от параметра .

Для этого рассмотрим оператор топологического заряда^50б)