Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

отметим, что из результатов, полученных в § 31, следует, что оно, вероятно, выполняется в реальном мире. Тогда: 1) если неравенство (38.14) справедливо, то топологический заряд квантуется и приобретает только целочисленные значения (например, разность v между двумя собственными значениями операторов K₊ и K_- представляет собой целое число); 2) если неравенство (38.14) несправедливо, то по меньшей мере существуют дробные значения величины ν. На самом деле для некоторых частных значений масс параметр ν должен принимать иррациональные значения.

Завершим этот параграф двумя замечаниями. Во-первых, мы получили ограничения на спектр операторов K_± и выражение для вакуума в терминах собственных векторов этих операторов |n_± , но мы не доказали, что спектр этих операторов нетривиален. Действительно, можно представить себе, что все собственные значения n совпадают между собой; тогда о содержании этого параграфа можно сказать: "много шума из ничего". К счастью (или к сожалению , в зависимости от точки зрения), наличие инстантонов свидетельствует о существовании по крайней мере бесконечного счетного множества …, —1, 0, 1, 2, … различных значений параметра n. Это будет показано в §45.

Во-вторых, мы предположили, что безмассовые U(1)-бозоны не существуют. Массы псевдоскалярных мезонов можно оценить так же, как это сделано в § 31. Если повторить вычисления для синглетного тока A^μ₀, то получим, что вследствие аномалии уравнение (31.5) приобретет дополнительный член

n

₂

^ƒ

⎧

⎩

g²

32π²

⎫²

⎭

∫

𝑑

⁴

x

⟨TG(x)G

^̃

(x)G(0)G

^̃

(0)⟩

_vac

.

(38.15)

Если рассматривать вакуум теории возмущений, то этот член обращается в нуль, однако, как будет показано в § 43 - 45, наличие инстантонных решений, по крайней мере в квазиклассическом приближении, приводит в киральном пределе к ненулевому значению выражения (38.15) [252]. Можно поставить вопрос о справедливости такого приближения. С другой стороны, тот же результат получается в пределе больших чисел цветов [273]. Таким образом, хотя абсолютно строгого доказательства нет, но кажется чрезвычайно вероятным, что квантовая хромодинамика решает проблему U(1).

Глава V ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ; РЕШЕНИЯ, НЕ ОПИСЫВАЕМЫЕ ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 39. Формулировка теории поля на языке интегралов по траекториям

До сих пор мы рассматривали главным образом те аспекты квантовой хромодинамики, которые описываются теорией возмущений. При этом вопрос о том, использовать ли каноническую формулировку теории поля или формулировку, основанную на применении интегралов по траекториям, является в значительной мере делом вкуса. Однако при рассмотрении аспектов КХД, не описываемых теорией возмущений, большей ясности можно достигнуть, используя язык функциональных интегралов. В этом параграфе мы рассмотрим кратко формализм фейнмановских интегралов по траекториям, в частности в применении к теории поля. Конечно, это не может заменить подробного изложения метода функциональных интегралов, которое заинтересованный читатель может найти в лекциях [112, 139] или в учебниках [114, 172, 283].

Начнем с рассмотрения нерелятивистской квантовой механики в одномерном пространстве [121]. Имеется гамильтониан Ĥ, являющийся функцией обобщенных импульсов P^̂ и координат Q^̂. Предполагается, что гамильтониан записан в "нормальной форме", т.е. все операторы импульса P^̂ расположены левее всех операторов координат Q^̂. Классический гамильтониан Ĥ можно получить из соотношения

⟨p|Ĥ|q⟩

=

e^-ipq

√2π

H(p,q),

(39.1)

Где состояния |p⟩ и |q⟩ удовлетворяют условиям P^̂|p⟩=p|p⟩, Q^̂|q⟩=q|q⟩, ⟨p|q⟩^-ipq/√2π. Оценим матричные элементы оператора эволюции

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩.

(39.2)

Для этого запишем разложение оператора эволюции в ряд

e

^-itĤ

=

 

lim

^N→∞

⎧

⎪

⎩

1-

it

N

Ĥ

⎫^N

⎪

⎭

, t=t''-t',

и вставим суммы по полным наборам векторов состояний

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=

 

lim

^N→∞

∫

∏

𝑑p_n

2π

∏

𝑑q_n

2π

⟨q''|p

_N

⟩

⟨p

_N

|1-

it

N

Ĥ|q

_N

⟩

×

⟨q

_N

|p

_N-1

⟩

⟨p

_N-1

|1-

it

N

Ĥ|q

_N-1

⟩…

⟨p

_N

|1-

it

N

Ĥ|q'⟩.

Используя соотношение (39.1), получим

⟨p

_n

|1-

it

N

Ĥ|q

_n

⟩=

exp{-ip_nq_n-(it/N)H(p_n,q_n)}

√2π

+O

⎧

⎩

1

N²

⎫

⎭

,

так что окончательный результат имеет вид

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=

 

lim

^N

∫

∏

𝑑p_n

2π

∏

𝑑q

_n

×

exp i

⎧

⎨

⎩

p

_N

(q

''

N

-q

_N

)+…+p

₁

(q

₁

-q')

-

t

N

(H(p

_N

,q

_N

)…H(p

₁

,q'))

⎫

⎬

⎭

(39.3)

Использованный Фейнманом прием заключается во введении в рассмотрение двух функций p(t) и q(t), определяемых условиями p(t_n)=p_n и q(t_n)=q_n . Используя эти функции, можно перейти от интегралов по дискретным переменным к интегралам по непрерывным распределениям:

 

∏

ⁿ

𝑑p_n

2π

→

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

,

 

∏

ⁿ

𝑑q_n

2π

→

 

∏

^t

𝑑q(t)

2π

,

(39.4)

т.е. теперь интегрирование производится по всем функциям, а член в скобках в (39.3) принимает вид

∫

^t''

 

_t'

𝑑t

{p(t)q̇(t)-H(p(t),q(t))}, ƒ̇≡

𝑑ƒ

𝑑t

.

Тогда полное выражение (39.3) имеет вид

⟨q''|e

^-itĤ

|q⟩

=

∫

 

∏

^t

𝑑q(t)𝑑p(t)

2π

exp i

∫

^t'',q''

 

_t',q'

𝑑t(pq̇-H).

(39.5)