Квантовая магия

Другое свойство любой матрицы плотности — ее . Все собственные значения матрицы плотности вещественны (нет комплексных чисел) и неотрицательны (больше нуля или равны ему). Для матрицы плотности всегда существует унитарное преобразование, которое приводит ее к диагональной форме, и по диагонали будут стоять неотрицательные вещественные числа. В случае чистых состояний ситуация еще проще — матрица плотности такого состояния имеет только одно ненулевое собственное значение (равное единице), а все остальные равны нулю.

На простом примере я попытаюсь показать, как строится матрица плотности. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей ( Аи B), каждая из которых может находиться в двух состояниях 0 и 1. Вектор типа |01~n означает, что подсистема находится в состоянии 0 (пусть она стоит на первой позиции), а подсистема B— в состоянии 1.

Если система замкнута (чистое состояние), то мы можем записать для нее вектор состояния, например, в стандартном базисе:

|~n = a|00~n + b|01~n + c|10~n + d|11~n, (3.1)

где a, b, c, d— в общем случае комплексные числа (амплитуды) и выполняется условие нормировки | a| ²+ | b| ²+ | c| ²+ | d| ²= 1.

Вектор состояния (3.1) описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел. То есть a, b, c, dмогут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.

Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |~n'a| (вектор-столбец (3.1) нужно умножить на комплексно сопряженную строку). Это матрица 4 x 4 и по диагонали в ней стоят | a| ², | b| ², | c| ², | d| ²— это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00~n, |01~n, |10~n, |11~n соответственно. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, в них содержится информация о градиентах энергии, возникающих в ней.

Состояние (3.1) может быть максимально запутанным, например, одно из них:

. (3.2)

Матрица плотности в этом случае равна:

. (3.3)

То есть система с равной вероятностью 1/2 в состояниях |00~n и |11~n («кот ни жив, ни мертв») — это диагональные элементы. И корреляции между этими состояниями максимальны (недиагональные элементы). Мы видим, что недиагональные элементы равны друг другу и расположены симметрично, как и должно быть для любой матрицы плотности.

При измерении этого нелокального состояния (при декогеренции) мы получим одно из двух классических локальных (сепарабельных) состояний |00~n или |11~n с равной вероятностью.

Существует простой способ проверить, относится ли какая-либо матрица плотности к чистому состоянию или нет. Если умножить матрицу саму на себя, и она при этом не изменится (получится та же самая матрица), то есть если выполняется равенство ²= , то можно сразу сказать, что данная матрица плотности описывает чистое состояние, и для него может быть записан вектор состояния. Такие матрицы, которые не меняются при умножении самой на себя, называются идемпотентными. Таким образом, любая матрица плотности чистого состояния — идемпотентная.

Если система незамкнутая (открытая), то это смешанное состояние, и тогда она не описывается вектором состояния, но ее по-прежнему можно описать матрицей плотности. Например, максимально смешанное состояние:

. (3.4)

Его уже нельзя записать в виде вектора состояния (3.1). В этом случае нет корреляций между состояниями |00~n|01~n|10~n|11~n, и при измерении можно получить любое из этих состояний с равной вероятностью 1/4.

Замечу, что матрица плотности такого вида получается, если мы хотим описать состояние одной из подсистем, например , в случае максимально запутанного состояния типа (3.2). Так, если мы возьмем частичный след по подсистеме Bи получим частичную матрицу плотности размерностью 2 x 2, которая описывает подсистему , то эта матрица плотности будет соответствовать максимально смешанному состоянию и иметь вид:

. (3.5)

Подсистема с равной вероятностью 1/2 может находиться в состоянии |0~n или |1~n.

Нужно еще иметь в виду, что, когда мы говорим «состояние системы», то смысл этого выражения обычно зависит от контекста. Речь может идти о состоянии, полученном в результате измерения (декогеренции), то есть об одном из реализованных собственныхсостояний системы (об одном из диагональных состояний матрицы плотности). Или имеется в виду исходное состояние, то есть сам вектор состояния (вся матрица плотности), тогда по ее структуре можно судить о квантовой запутанности и о корреляциях (в частности, о градиентах энергии). В простых случаях, например, для матрицы плотности типа (3.3) (когда 1/2 стоят по четырем углам, а остальные нули), сразу можно сказать, что это максимально запутанное cat-состояние.