Квантовая магия

В дифференциальной геометрии 1-форма определяется как линейная вещественная функция векторов, то есть является линейным оператором, «машиной», на вход которой подаются векторы, а на выходе получаются числа. Простейшей 1-формой является градиент функции f (обозначение d или grad обычно используют применительно к скалярным величинам, а Ñ (читай: «набла») — к векторам или тензорам). Внешняя производная, или градиент, является более строгой формой понятия «дифференциал». В отличие от дифференциала , который выражает изменение f в некотором произвольном направлении, градиент характеризует изменение функции в определенном направлении, заданном бесконечно малым вектором смещения v. Если быть более точным, градиент представляет собой совокупность поверхностей уровня f ^a = const и характеризует их «близость» друг к другу, плотность «упаковки» в элементарном объеме в направлении v, с точностью до приближения их плоскостями и размещения через равные промежутки (вследствие линейности оператора). Результатом пересечения вектором смещения v является число á, vñ = ∂_v f. Это выражение определяет связь между градиентом и производной по направлению ∂_v f. Введя вектор v в линейную машину , на выходе мы получаем ∂_v f — число пересеченных плоскостей при прохождении v через , число, которое достаточно малом v равно приращению f между основанием и острием вектора v.

Задание 1-формы в данной точке (связь с точечным описанием) для некоторого геометрического объекта, описывающего физическую величину, например, для тензора произвольного ранга (0-ранг — скаляр, 1-ранг — вектор или 1-форма, 2-ранг — тензор второго ранга и т. д.), предполагает выполнение трех основных операций. Это, прежде всего, задание вектора смещения, в направлении которого данный объект меняется от точки к точке. Во-вторых: моделирование исходного объекта в окрестностях каждой точки в виде плоских поверхностей уровня, расположенных на одинаковых расстояниях. наконец, подсчет числа пересечений этих плоскостей вектором смещения. Поскольку образование 1-формы (градиента) от произвольного тензора предполагает одновременное задание вектора смещения, появляется дополнительный входной канал, и ранг исходного тензора увеличивается на единицу.

Таким образом, дифференциальная геометрия дает более строгое определение градиента в качестве 1-формы, в отличие от обычных представлений градиента как вектора. Градиент, который нам более знаком, — это всего лишь вектор, поставленный в соответствие 1-форме градиента с помощью уравнения (которое уже приводилось) f · v = á, vñ, где слева стоит скалярное произведение двух векторов, и f — градиент в виде вектора.

Дифференциальная геометрия расширяет также понятие тензора. Если обычно под тензором понимается линейный оператор с входными каналами для векторов и выходными данными либо в виде вещественных чисел, либо в виде векторов, то теперь во входной канал может подаваться не только вектор, но и 1-форма.

В качестве примера рассмотрим координатное представление тензора второго ранга. В отличие от обычного вектора, который может быть разложен лишь в одном произвольном базисе из ортонормированных векторов (поэтому его можно считать тензором первого ранга), тензор второго ранга разлагается на компоненты в двух базисах. В качестве любого из этих базисов (или обоих сразу) могут служить либо наборы из обычных базисных векторов e_α, либо совокупность так называемых базисных 1-форм w^α = ^α. Базисные 1-формы — это координатные поверхности x^α = . Следовательно, базисный вектор e_α пересекает только одну поверхность 1-формы w^α (перпендикулярную e_α).

Точно так же, как произвольный вектор можно разложить по базису e_α, v = ν^αe_α, 1-форму можно разложить по базису w^β, σ = σ_βw^β. Коэффициенты ν^α и σ_β называются компонентами вектора v и 1-формы s в базисе e_αи w^β соответственно.

Вводя в некоторый тензор второго ранга S произвольные вектор v и 1-форму σ и, зная компоненты их разложения в своих базисах, через них можно выразить компоненты самого тензора S(v, σ) = S(e_α, w^β) v^ασ_β = S_α^βv^ασ_β.

Словарь терминов

Вектор состояния — полное описание замкнутой системы в выбранном базисе. Задается лучом гильбертова пространства.

Волновая функция (волновой вектор) — частный случай вектора состояния, одно из координатных его представлений, когда в качестве базиса выбираются пространственно-временные координаты.

Гильбертово пространство (пространство состояний) — совокупность всех потенциально возможных состояний системы.