Квантовая механика и интегралы по траекториям

Математические выражения, которые довольно хорошо применимы при больших длинах волн, приводят к расходимостям в коротковолновой области. Предельные длины доступных нам сейчас волн имеют порядок комптоновской длины волны протона: h/Mc2·10^-14 см.

Возвращаясь к нашей оценке, допустим, что мы суммируем по всем волновым числам, меньшим некоторого предельного значения k_максMc/h. Заменяя приближённо сумму по состояниям на интеграл, получаем плотность энергии вакуумного состояния

E₀

ед. объёма

=2

hc

2(2)^3

_kмакс

⁰

k

·

4k^2

dk

=

hck

₄

^макс

8

₂

 

(9.41)

(заметим, что множитель 2 появился вследствие того, что каждому значению k отвечают две моды соответственно двум возможным поляризациям). Масса, эквивалентная этой энергии, получается делением на c^2, что даёт

m₀

ед. объёма

=

2·10

¹⁵

г/см^3

.

(9.42)

Можно было бы ожидать (по крайней мере так кажется на первый взгляд), что при такой плотности гравитационные эффекты велики, чего в действительности не наблюдается. Возможно, что наш расчёт слишком упрощённый, и если бы мы использовали все выводы общей теории относительности (такие, например, как гравитационные эффекты, обусловленные большими давлениями, которые здесь подразумеваются), гравитационные эффекты могли бы исчезнуть, однако все это никем ещё не проделано. Возможно, найдётся такое правило обрезания, которое не только даст конечную плотность энергии вакуумного состояния, но и позволит сделать это релятивистски-инвариантным образом. Сейчас совершенно не ясно, к чему все это приведёт.

Поэтому будем пока просто считать плотность энергии вакуумного состояния равной нулю. До сих пор не было ни одного эксперимента, который противоречил бы такому допущению. При дальнейшем изучении квантовой электродинамики нам встретятся интегралы с расходимостями других типов, причём устранение будет значительно сложнее.

Волновая функция вакуумного состояния. Волновая функция совокупности осцилляторов представляется в виде произведения всех волновых функций всех мод. Волновая функция основного состояния осциллятора, соответствующего фотону с поляризацией 1 и волновым числом k, пропорциональна экспоненте exp [-(ck/2h)/a*_1ka_1k]. Поэтому с точностью до нормировочной постоянной волновая функция основного, или вакуумного, состояния всей системы равна

₀

= exp

-

 

^k

kc

2h

(

a

_*

^1k

a

 

^1k

+

a

_*

^2k

a

 

^2k

)

.

(9.43)

Задача 9.6. Покажите, используя синусоидальные и косинусоидальные моды с действительными переменными, что последнее выражение, в которое входят комплексные переменные, действительно является справедливым (ср. задачу 8.4).

Задача 9.7. Покажите, что для вакуумного состояния среднее значение величины a*_1ka_1l равно (h/2kc)_kl. Выведите формулу для среднего значения величины (a*_1ka_1k)^r, где r — целое число, и укажите, как, пользуясь этой формулой, получить среднее значение произведения (a*_1ka_1k)^r (a*_1pa_1p)^s при p/=k. Покажите, что среднее значение величины (a_1k)^2 или (a*_1k)^2 и среднее значение произведения любого нечётного числа величин a равны нулю. Покажите также, каким образом можно вычислить для вакуумного состояния ожидаемое значение любого произведения величин a или a*.

Задача 9.8. Если состояние определяется единственным фотоном, который находится в состоянии 1k, все множители в волновой функции имеют вид ₀, за исключением одного, равного ₁. Для осциллятора при этом выполняется равенство ₁(q)=q₀(q). Волновая функция, представляющая возбуждённую волну, записывается в виде линейной комбинации: 1) волновой функции состояния с возбуждённой косинусоидальной модой и 2) умноженной на i волновой функции состояния с возбуждённой синусоидальной модой. Используя это, покажите, что волновая функция однофотонного состояния 1k имеет вид a*_1k0. Она не нормирована. Квадрат нормировочной постоянной *₀a_1ka*_1k0 (или ожидаемое значение величины a_1ka*_1k для вакуума), как мы видели в предыдущей, задаче, есть h/2kc. Отсюда следует, что нормированная волновая функция однофотонного состояния представляется в виде 2kc/ha*_1k0.

§ 4. Взаимодействие поля с веществом

С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения:

амплитуда

=

exp

i

h

S

_част

+S

_взаим

+S

_поле

 

^i,k

x

x

Dq

_i

Da

_1k

Da

_2k

.

(9.44)

Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.