Квантовая механика и интегралы по траекториям

Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнём с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует S_взаим мало и разложение ведётся только до членов первого порядка малости).

Если пренебречь функцией действия S_взаим то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями _N(q) имеют энергии e_N, где N=0, 1, 2 …, а символом q обозначены радиусы-векторы q_i всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений n_1k и n_2k.

Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны

E

=

e

_N

+

 

^k

(

n

_1k

+

n

_2k

)

hkc

.

(9.45)

Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения

=

_N

(q)

(n

_1k

,n

_2k

)

,

(9.46)

где (n_1k,n_2k) — волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).

Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне M, а внешних фотонов нет совсем (все числа n_1k и n_2k равны нулю). Соответствующая волновая функция равна

_i

=

_M

(q)

₀

,

(9.47)

где ₀ берётся в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне N и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом l и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид a*_1l0, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть

_f

=

2lc

h

1/2

_N

(q)

a

_*

^1l

₀

(9.48)

Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент V_fi возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид

V

=

4

(

a

_*

^1k

j

_1k

+

a

_1k

j

_*

^1k

),

^k

(9.49)

где, как и в задаче 9.2, ток j_1k зависит от переменных, связанных с атомом. Этот матричный элемент равен

V

_fi

=

_*

^N

*

0

2lc

h

1/2

a

_1l

x

x

4

(

a

*

1k

j

_1k

+

a

_1k

j

*

1k

)

_M

₀

dq

da

_1k

,

^k

^k

(9.50)

или, в другом виде,

V

_fi

=

 

^k

8lc

h

1/2

*

0

a

_1l

a

*

1k

₀

 

^k

da

_1k

_*

^N

j

_1k

_M

dq

+

+

 

^k

8lc

h

1/2

*

0

a

_1l

a

_1k

₀

 

^k

da

_1k

_*

^N

j

_*

^1k

_M

dq

,

(9.51)

так как от координат q здесь зависит только ток j. Ожидаемые значения произведения величин a для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл

*

a

a

_1l

a

*

1k

₀

 

^k

da

_1k

=0

есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при k=l, когда он равен h/2lc. Обозначим матричный элемент *_Nj_Mdq как (j)_NM. Тогда матричный элемент - V_fi запишется в виде 2h/lc(f_1l)_NM. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]

2

h

2h

lc

|j

_1l

|

2

NM

(

E

_M

-

E

_N

-

hlc

).

(9.52)

Обычно мы не задаёмся вопросом об излучении какого-либо определённого фотона, а хотим вместо этого найти вероятность излучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол d. Для этого необходимо просуммировать l по всем значениям, соответствующим этому направлению. Число значений l в единице объёма есть dl/(2)^3; если направление l задано, то мы должны взять интеграл по dl, записав dl/(2)^3 в виде l^2dld/(2)^3. Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде

dP

dt

=

(2)^2

lc

|j

_1l

|

2

NM

(

E

_M

-

E

_N

-

hlc

)

l^2

dld

(2)^3

.

(9.53)

Интегрирование по l даёт выражение

dP

dt

=

2hc^3

|j

_1l

|

2

NM

d

,

(9.54)

характеризующее вероятность излучения света с поляризацией 1 по направлению l в телесный угол d. Частота излучаемого света

=lc=

E_M-E_N

h

.

(9.55)

Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем

(j

_1k

)

NM

=

 

^b

(

e

_b

e·q

_b

e

^-ik·q_b

)

NM

,

(9.56)

где e — единичный вектор в направлении поляризации света, e_b и q_b — заряд и радиус-вектор частицы b. Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т.е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение электрона b, спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем 1/k. Покажите, что при этом экспоненту exp (ik·q_b/h) можно аппроксимировать единицей и записать матричный элемент как

j

_1k,NM

=

ie·

_NM

,

(9.57)

где

_NM

=

 

^b

(

e

_b

q

_b

)

_NM

.

(9.58)

Функция _NM называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приближение, использованное при выводе соотношения (9.57), называется дипольным приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна

dP

dt

=

4^3

3hc^3

|

_NM

|^2

.

(9.59)

[Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учётом того, что векторы e и k перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.]