Квантовая механика и интегралы по траекториям

что даёт формальное решение нашей задачи. Если P_f представляет собой гауссово распределение, то и P_x имеет такой же вид. В этом случае задача может быть решена многими способами, причём самый очевидный из них — разложение в ряд Фурье при условии, что ^2₀ и не зависят от времени.

Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя из уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример. Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину T, частица отклонится на расстояние D от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом к ней, как это показано на фиг. 12.1?

Фиг. 12.1. Движение быстрой частицы пердендикулярно пластинке вещества толщиной T.

Пройдя толщину t в направлении первоначального движения, быстрая частица вследствие взаимодействий с ядрами вещества отклоняется на расстояние x. В конце концов она вылетает из пластинки на расстоянии D от точки x=0, в которой она вылетела бы при отсутствии взаимодействий, и движется под углом к первоначальному направлению.

Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых даёт малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины dt равно и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол , определяемый распределением вероятности pd; пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение

^-

^2

p(

)d(

)

=

^2

(12.65)

(мы будем обозначать ^2 через R).

Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга. Обозначим через t глубину проникновения частицы в пластинку; пусть — угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, а x — отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12.1. Эти параметры связаны соотношением dx= или x=.

Мы предполагаем, что отклонения частицы на угол происходят внезапно, так что =f(t), где функция f представляется суммой -функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами. Это означает, что x=f(t) и P_f[f(t)] обладает характеристическим функционалом

=

exp

-

{1-W[k(s)]}

ds

,

(12.66)

где

W[]

=

p(

)

e

ⁱ

d

.

(12.67)

Заметим, что среднее значение углового отклонения считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми. Если теперь разложить G, так что

W[]

=

p(

)

1+i

-

^2

2

^2

+…

d

,

(12.68)

и ограничиться только членами не выше второго порядка по , т.е. положить W[]=1-^2^2/2, то функционал (12.66) будет иметь вид

=

exp

-

1

2

R

[k(s)]^2

ds

.

(12.69)

А это в свою очередь означает, что

P

_f

[f(t)]

=

exp

-

1

2R

[f(t)]^2

dt

(12.70)

и, следовательно,

P

_x

[x(t)]

=

const·exp

-

1

2R

_T

⁰

[x(t)]^2

dt

(12.71)

Мы должны вычислить распределение P(D,), определяющее вероятность того, что частица будет выходить из пластины под углом и смещением D, если при входе в пластину она имела x(0)=0 и x(0)=0. Нас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода x(T)=D и x(T)=. Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям:

P(D,)

=

exp

-

1

2R

_T

⁰

x^2

dt

Dx(t)

,

(12.72)

где все траектории, по которым берётся интеграл, удовлетворяют предполагаемым граничным условиям. Этот интеграл гауссовой формы можно вычислить методами, развитыми в § 5 гл. 3. Он имеет экстремум для траектории

_....

x

 

(t)

=

0

.

(12.73)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее нашим граничным условиям, имеет вид

x(t)

=

(3D-T)

t

T

^2

+

(T-2D)

t

T

^3

.

(12.74)

Подставив его в показатель экспоненты в (12.72), получим

1

2R

_T

⁰

x^2

dt

=

6

RT^3

D

-

T

2

^2

+

^2

2RT

.

(12.75)

Отсюда следует искомое распределение

P(D,)

=

const·exp

-

6

RT^3

D

-

T

2

^2

+

^2

2RT

.

(12.76)

На практике в некоторых случаях для нас может представлять интерес не точное линейное смещение частицы от предполагаемой начальной точки, а угол , под которым частица вылетает из пластины. Обладая полной функцией распределения (12.76), легко вычислить функцию распределения углов, проинтегрировав по всем значениям D. Результат равен exp[-(^2/2RT)]. Этого можно было ожидать, поскольку мы уже предположили, что среднеквадратичный угол отклонения при прохождении единичной толщины равен R, так что эта же величина для полной толщины T должна быть RT.

Предположим теперь, что мы наблюдаем только частицы, вылетающие под фиксированным углом , и рассмотрим для этих частиц функцию распределения по положениям точек вылета D. Найдём, что распределение вероятностей имеет максимум при D=T/2. Этого можно было бы ожидать, если бы конечный угол отклонения нарастал пропорционально толщине пластины; тогда среднее значение угла во время пролёта через пластину было бы равным /2.