Квантовая механика и интегралы по траекториям

Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; эти распределения мы теперь и рассмотрим.

Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала:

=

exp

i

k(t)F(t)dt

x

x

exp

-

1

2

k(t)

k(t')

A(t,t')

dt

dt'

.

(12.40)

Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта f(t), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию f'=f-F(t). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро A(t,t') должно иметь форму A(t-t').

В конкретных физических задачах вид функции A можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом A(t,t')=(t-t'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.

Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя i отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.

Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид

P[f(t)]

=

exp

-

1

2

[f(t)-F(t)]

x

x

[f(t')-F(t')]

B(t,t')

dt

dt'

.

(12.41)

где теперь функция B(t,t') представляет собой ядро, обратное ядру A(t,t'), т.е. функции A и B связаны равенством

A(t,)

B(,s)

d

=

(t-s)

.

(12.42)

Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).

Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.

Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т.е. изучим распределения с характеристическим функционалом

=

exp

-

1

2

k(t)

k(t')

A(t-t')

dt

dt'

.

(12.43)

Функция A называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции f(t) равна

P[f(t)]

=

exp

-

1

2

k(t)

k(t')

B(t-t')

dt

dt'

.

(12.44)

В последнем выражении появилась функция B, обратная по отношению к корреляционной функции A. Это означает, что B(t-s)A(s)ds=(t) или, если

P

=

A

e

ⁱ

d

(12.45)

является преобразованием Фурье от функции A, то преобразование Фурье от функции B равно 1/P.

Мы начнём с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением

f(a)

=

-i

k(a)

(12.46)

В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна

k(a)

=

-

k(t)

A(t-a)

dt

(12.47)

и обращается в нуль, если k(t)=0.

Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты a и b. Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем

f(a)f(b)

=

^2

k(a)k(b)

=

A(b-a)

-

-

k(t)

A(t-a)

dt

k(t')

A(t'-a)

dt'

.

(12.48)

Вычислив это выражение для k=0, получим просто A(b-a). Отсюда ясно, почему A называется корреляционной функцией.

§ 5. Спектр шума

Наиболее употребительная характеристика распределения шумов — это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т.е. от

=

f(t)

e

^it

dt

.

(12.49)

Используя наши предыдущие результаты, можно найти

||^2

=

f(a)

e

^ia

da

f(b)

e

^ib

db

=

=

f(a)f(b)

e

^i(a-b)

da

db

=

=

A(b-a)

e

^i(a-b)

da

db

=

P

da

.

(12.50)

Здесь мы использовали функцию P, фурье-образ корреляционной функции A [см. выражение (12.45)].