Квантовая механика и интегралы по траекториям

Этот характеристический функционал также обладает важными специальными свойствами. Например, (0)=1, а среднее значение функции f(t), вычисляемое в некоторый момент времени t=a, равно

f(a)

=

-i

k(a)

[k(t)]

k(t)=0

,

(12.13)

где используется функциональная производная, определённая в § 2 гл. 7.

В принципе можно выполнить обратное интегральное преобразование Фурье по траекториям и записать вероятностный функционал в форме

P[f(t)]

=

e

^-ik(t)f(t)dt

[k(t)]

Dk(t)

(12.14)

где интеграл по траекториям берётся в пространстве функций k.

Для дальнейшего использования заметим, что если функция f(t) всюду совпадает с некоторой заданной функцией F(t), т.е. P[f(t)] равен нулю для всех f(t), кроме F(t), то характеристическая функция имеет вид

=

e

^ik(t)F(t)dt

.

(12.15)

§ 3. Шумы

Используем теперь развитые выше идеи для изучения конкретных примеров и в ходе этого выработаем несколько новых понятий. Пусть мы проводим эксперимент, в котором считаем сигналы некоторого типа, например импульсы, создаваемые космическими лучами в счётчике Гейгера, или импульсы теплового шума в вольтметре. В таких случаях импульсы проявляются не просто как резкие дискретные всплески энергии, а характеризуются нарастанием и спадом потенциала. Внимательное изучение реального изменения потенциала, вызванного такими импульсами, показало бы, что для сигнала, пришедшего в момент t, оно имело бы форму g(t). Точно так же, если бы сигнал приходился на момент t=t₀, форма потенциальной кривой была бы g(t-t₀).

Далее предположим, что мы проводим наши измерения в интервале времени T, в течение которого регистрируются импульсы с центрами в моменты t₁,t₂,…,t_n. Полное изменение потенциала в течение всего эксперимента было бы

_n

^j=1

g(t-t

_j

)

.

Так как нам известно, когда произошли все события, то наша функция распределения просто должна выражать достоверность. Используя равенство (12.15), получаем соответствующую характеристическую функцию

= exp

i

_n

^j=1

k(t)

g(t-t

_j

)

dt

.

(12.16)

Предположим теперь, что до проведения эксперимента мы хотели бы определить вероятность наблюдения вполне определённого изменения потенциала с течением времени. Допустим при этом, что n событий равновероятно распределены по всему интервалу T, т.е. что вероятность события в интервале времени dt равна dt/T. В этом случае характеристическая функция оказывается равной

=

_T

⁰

exp

i

_n

^j=1

k(t)

g(t-t

_j

)

dt

dt₁

T

dt₂

T

…

dt_n

T

=

=

_T

⁰

exp

i

k(t+s)

g(t)

dt

ds

T

n

.

(12.17)

Обозначим выражение в скобках через A и запишем результат как Aⁿ.

Если число событий в интервале времени распределяется так, что применимо распределение Пуассона, т.е. наступление любого события не зависит от момента наступления других событий и имеется постоянная скорость появления среднего числа событий за единицу времени, то среднее число событий, происходящих за время T, равно T=n и характеристическая функция

=

 

ⁿ

A

ⁿ

nⁿ

n!

e

^-n

.

(12.18)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение экспоненты от (A-1)n, так что характеристическую функцию можно записать в виде

=

e

^-(A-1)n

=

exp

-T

1-

_T

⁰

e

^{ik(t+s)g(t)dt}

ds

T

=

=

exp

-

_T

⁰

(1-e

^{ik(t+s)g(t)dt}

)

ds

.

(12.19)

Таким образом, можно теперь вычислить характеристическую функцию для многих различных случаев. Перейдём к рассмотрению некоторых частных случаев, где можно использовать простые приближения.

Допустим, что сигналы очень слабые, а их среднее число за единицу времени велико. В этом случае g(t) мало и, разлагая экспоненту exp[ik(t+s)g(t)dt] в степенной ряд, можно аппроксимировать характеристическую функцию выражением

exp

i

_T

⁰

_T

⁰

k(t+s)g(t)dt

ds

=

exp

iG

_2T

⁰

k(t)dt

,

(12.20)

где через G=g(t)dt обозначена площадь сигнала. Это означает, что характеристическая функция выражается в виде (12.15) с F(t)=G (постоянной, не зависящей от t), а это эквивалентно достоверному утверждению, что f(t) совпадает с или, другими словами, вероятность равна единице при наблюдении функции f(t)=G и равна нулю при наблюдении других функций f(t). Таким образом, совокупность большого числа малых слабых сигналов порождает почти постоянный потенциал, величина которого равна произведению числа сигналов за 1 сек на среднее значение потенциала сигнала.

Перейдём теперь к приближению более высокого порядка и изучим флуктуации около этого постоянного потенциала.

Равенство (12.20) даёт первое приближение экспоненты exp[ik(t+s)g(t)dt] в выражении для характеристического функционала (12.19). Допустим теперь, что мы переходим к следующему приближению и учитываем члены второго порядка в виде

-

2

k(t)g(t-s)dt

k(t')g(t'-s)dt'

ds

.

(12.21)

Чтобы получить более простое выражение, введём функцию, определяющую степень перекрытия двух соседних сигналов,

=

g(t)

g(t+)

dt

.

(12.22)

Эта подстановка приводит член второго порядка к виду

-

2

_T

⁰

_T

⁰

k(t)

k(t')

(t-t')

dt

dt'

.

(12.23)

Характеристический функционал с учётом членов первого и второго порядков приобретает вид

= exp

iG

k(t)

dt

exp

-

2

k(t)

k(t')

(t-t')

dt

dt'

.

(12.24)