Квантовая механика и интегралы по траекториям

Запишем это так. Вероятность наблюдения функции f(t) есть функционал P[f(t)]. При этом следует помнить, что вопросы относительно такой вероятности имеют смысл, только если определить интервал, внутри которого мы ищем определённую функцию. Так же, как в приведённом выше примере, мы должны были спросить: какова вероятность найти конец временного промежутка внутри интервала dt? Теперь аналогично следует спрашивать: какова вероятность найти функцию в пределах некоторого более или менее ограниченного класса функций (например, среди кривых, заключённых между точками a и b) в течение всего времени интересующего нас хода событий? Если мы назовём такую совокупность функций классом A и спросим, какова вероятность найти функцию f(t) в классе A, то ответ записывается в виде интеграла по траекториям

P[f(t)]

Df(t)

,

^A

(12.3)

где интегрирование проведено по всем функциям класса A.

Это выражение можно осмыслить по аналогии с функцией вероятности для нескольких переменных. Вообразим, что точками t₁,t₂,… время разбито на дискретные интервалы (как мы это делали в гл. 2, когда только что определили интегралы по траекториям). Тогда значения функции в избранных временных точках f(t₁),f(t₂),… = f₁,f₂,…, аналогичны аргументам функции распределения многих переменных. Вероятность обнаружения заданной кривой можно понимать теперь как вероятность получения заданной системы величин f₁,f₂,… в интервале df₁,df₂,…, т.е. P(f₁,f₂,…) df₁,df₂,…. Если затем перейти к пределу, устремляя число дискретных интервалов времени к бесконечности, то получим вероятность обнаружения непрерывной кривой f(t) в интервале Df(t), стоящую под знаком интеграла по траекториям в выражении (12.3). Определённый таким образом функционал вероятности и соответствующий вероятностный подход мы будем использовать далее в этой главе.

§ 2. Характеристические функции

Полезно и дальше использовать аналогию между функционалом вероятности траектории и более привычной функцией распределения. Оба эти подхода имеют некоторые общие понятия, например понятие среднего значения. В случае обычных функций распределения дискретных величин, когда вероятность обнаружения некоторого числа n равна P_n, среднее значение определяется как

n

=

ⁿ⁼¹

n

P

_n

.

(12.4)

Для непрерывно распределённых переменных

x

=

^-

x

P(x)

dx

.

(12.5)

Аналогичным образом среднее значение функционала Q[f(t)] определим как

Q

=

Q[f(t)]P[f(t)]Df(t)

P[f(t)]Df(t)

.

(12.6)

В последнем соотношении, как и в гл. 7, мы включили в знаменатель интеграл по траекториям, который напоминает нам, что мы всегда должны иметь дело с проблемой нормировки. В принципе можно было бы с самого начала вычислить интеграл по траекториям от функции распределения, приравнять его единице и определить нормировочную постоянную. Однако во многих практических случаях удобнее оставлять функцию ненормированной, просто сокращая числовые множители в числителе и знаменателе выражения, которые сами по себе могут оказаться крайне сложными для вычисления.

Средний квадрат функции в заданный момент времени, например при t=a, так же как и среднее значение функции, можно выразить через интегралы по траекториям. В этом случае получается функционал

[f(a)]^2

=

[f(a)]^2P[f(t)]Df(t)

P[f(t)]Df(t)

.

(12.7)

Одним из наиболее важных случаев усреднения функций согласно (12.5) является вычисление среднего значения e^ikx. Это среднее значение называется характеристической функцией и равно

(k)

=

e

^ikx

=

^-

e

^ikx

P(x)

dx

.

(12.8)

Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для P(x) и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как её наличие эквивалентно заданию самой функции распределения. Последнее вытекает из возможности выполнить обратное преобразование

P(x)

=

^-

e

^-ikx

(k)

dk

.

(12.9)

Некоторые важные параметры этого распределения можно определить, вычисляя производные характеристической функции. Так, например, среднее значение x равно

x

=

-i

d(k)

dk

k=0

,

(12.10)

что легко показать, дифференцируя обе части равенства (12.8) по k и полагая затем k=0. В самом деле, существует последовательность соотношений

(0)=1

,

'(0)=ix

,

''(0)=x^2

,…

(12.11)

Следующий наш шаг состоит в обобщении понятия характеристической функции на случай функционального распределения. Математическое определение такой характеристической функции можно построить, снова возвращаясь к нашей картине дискретных интервалов времени; затем нужно выполнить преобразование Фурье для функции распределения большого числа переменных, используя ядро exp(ik₁f₁) exp(ik₂f₂) …. При переходе к пределу бесконечного разбиения временных интервалов ядро превращается просто в exp[ik(t)f(t)dt]. Это и есть функционал, среднее значение которого мы хотим вычислить для построения характеристического функционала. Используя равенство (12.6), получаем

[k(t)]

=

e^ik(t)f(t)dtP[f(t)]Df(t)

P[f(t)]Df(t)

.

(12.12)