Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Квантовая механика и интегралы по траекториям

Ричард Филлипс Фейнман

v^3w

(1-e

^-|-|

)

w^2

v^2

|-|

(11.76)

Интеграл A теперь легко вычислить, и результат выражается в очень простом виде:

(11.77)

В итоге нам нужно получить энергию E', соответствующую действию S'. Эту величину проще всего найти дифференцированием обеих частей выражения (11.6) по C:

CdE'₀

(11.78)

так что с учётом выражений (11.77) и (11.74) получаем после интегрирования

₀

(v-w)

(11.79)

где мы учли, что E'₀=0 при C=0. Поскольку E'₀-B=(3/4v)(v-w)^2, то окончательно получим для энергии выражение

(v-w)^2

(11.80)

где A задано соотношением (11.75). Величины v и w — два параметра, которые для получения минимума можно варьировать порознь.

К сожалению, интеграл A нельзя вычислить в квадратурах, так что окончательное определение E требует численного интегрирования. Однако существует возможность найти приближённые выражения в различных предельных случаях. Случай больших соответствует большим v. Выбор w=0 приводит к интегралу

^{- 1/2}

^1/2

⁰

(1-e

^-v

)

^{- 1/2}

(1/v)

v^1/2( 1/2 +1/v)

(11.81)

и E'₀=3v/4. Это эквивалентно тому, что в выражении (11.37) используется потенциал, который соответствует свободным гармоническим колебаниям. При больших v членом e^-v можно пренебречь, так что A=^{- 1/2}v^1/2. Для значений , меньших чем 5,8, и при w=0 выражение (11.80) не имеет минимума, только если не выполнено условие v=0, так что случай w=0 не даст единого выражения для всех значений . Несмотря на этот недостаток, результат (11.81) сравнительно прост и достаточно точен. При 6 фактически существенны только большие значения v и пригодна приближённая формула

1/2

2 ln2

;

(11.82)

при v4 эта формула выполняется с точностью до 1%. Однако, например, Фрёлих [9] рассматривает разрыв при =6 как серьёзный недостаток — недостаток, которого можно избежать в нашей теории. Мы сделаем это, выбрав w отличным от нуля.

Изучим выражение (11.80) при малых значениях и w/=0. Минимум будет иметь место, когда v близко к w. Поэтому положим v=(1+)w, считая малым, и разложим радикал в выражении (11.81). Это даст

⁰

^-3/₂

(1-e

^-w

)

2^1/2

+…

(11.83)

интеграл равен

^-1

[(1+w)

^1/2

-1]

(11.84)

В этом приближении задача сводится к минимизированию выражения

w^2

--(1-P)

(11.85)

получающегося с помощью подстановок из выражения (11.80); отсюда следует

2(1-P)

(11.86)

Этот результат справедлив только при малых значениях , так как мы предположили, что мало. Окончательно

^2(1-P)^2

(11.87)

Таким образом, наш метод даёт поправку даже для малых значений . Поправка будет минимальна при w=3, и в этом случае

-1,23

(11.88)

Последнее выражение слабо зависит от w; например при w=1 коэффициент 1,23 уменьшается только до 0,98. Метод Ли и Пайнса [10] даёт в этом приближении точно такой же результат, что и выражение (11.88). Разложение по теории возмущений до членов второго порядка было сделано Хага [11], который показал, что истинное значение коэффициента при члене (/10)^2 должно быть 1,26, так что наш вариационный метод очень точен при малых .

Противоположный предел при больших значениях соответствует большим v и, как мы увидим, значениям w порядка единицы. Так как v>>w, то в первом приближении интеграл в выражении (11.75) переходит в формулу (11.81), асимптотику которой можно использовать без вычислений. Следующее приближение по w можно получить, разложив радикал в выражении (11.75), при условии w/v1. Кроме того, пренебрежимо малым оказывается член e^-v. В этом случае

(v-w)^2

1/2

2 ln2

w^2

(11.89)

В рассматриваемом приближении больших v это выражение минимально при w=1 и v=(4^2/9)-(41n-1); тогда (см. [12])

-3 ln2 -

-0,1061^2

-2,83

(11.90)

Эти приближения не определяют верхнего предела E, так как, к сожалению, последующие члены будут порядка 1/^2 и, по-видимому, являются положительными.

Детальный численный расчёт, основанный на этом приближении, был выполнен Шульцем [13]. С помощью счётной машины Шульц вычислил значения v и w, которые дают минимум E для различных значений ; он вычислил также энергию E и сравнил полученную величину со значениями, полученными в различных теориях. В частности, он вычислил собственное значение энергии в теориях Ли, Лоу и Пайнса [14] (E_llp), в теориях Ли и Пайнса [10] (E_lp), Гросса [15] (E_g), Пекара [16], Боголюбова [17] и Тябликова [18] (E_pbt).

В табл. 2, позаимствованной из работы Шульца [13], приведены результаты вычислений , v и w, а также значения энергий из теории Фейнмана (E_e) и других теорий. В этой таблице предполагается, что и h равны единице. Отметим, что для всех значений а величина энергии в теории Фейнмана меньше, чем во всех других теориях.

Таблица 2

3,44

4,02

5,81

9,85

15,5

2,55

2,13

1,60

1,28

1,15

-3,1333