Квантовая механика и интегралы по траекториям

где потенциал V(x) не зависит от t (в противном случае, конечно, не существует никаких стационарных уровней энергии). Ограничимся одной переменной x, но обобщение на любое количество их не составит труда. Здесь же отметим, что если лагранжиан содержит член xA (например, если лагранжиан описывает частицу в агнитном поле), то соотношение (11.33) все ещё остаётся в силе, хотя действие S будет комплексным. Мы ожидаем, что в этом случае выражение (11.13) или же некоторые его простые модификации все ещё останутся справедливыми. Однако это не доказано, поэтому ограничимся случаем, когда никакого магнитного поля нет. Тогда в пределе при больших значениях будем иметь

exp

-

⁰

mx^2

dt

+

⁰

V[x(t)]

dt

Dx(t)

~

exp(-E

₀

)

.

(11.36)

Предположим теперь, что в качестве пробного мы используем действие

S'

=

⁰

mx^2

dt

-

⁰

V'[x(t)]

dt

,

(11.37)

которое содержит некоторый новый потенциал V'(x). Это означает, что

S-S'

=

⁰

{

V'[x(t)]

-

V[x(t)]

}

dt

,

(11.38)

или

=-

e

^S'

1

⁰

{

V[x(t)]

-

V'[x(t)]

}

dt

Dx(t)

e

^S'

Dx(t)

-1

.

(11.39)

Если бы нам было нужно определить среднее значение любой функции, которая зависит от траектории x(t) таким же образом, как и в данном случае усреднения, то мы обнаружили бы, что это среднее значение слабо зависит от t, пока t не очень близко к нулю или к . Поэтому с достаточной точностью можно написать

=-

e

^S'

{

V[x(t)]

-

V'[x(t)]

}

Dx(t)

e

^S'

Dx(t)

-1

=

=

V[x(t)]

-

V'[x(t)]

.

(11.40)

Следуя методам, изложенным в гл. 2, можно вычислить этот интеграл по траекториям в предположении, что известны функции '_n и значения энергий E'_n, соответствующие S'. Пусть, например, наша траектория проходит между точками x₁ и x₂ в этом случае

f'[x(t)]

=

 

ⁿ

{exp[-(-t)E

'

m

]}

x

x

[exp(-tE

'

n

)]

'

n

(x

₂

)

'

m

(x

₁

)

f

_nm

x

x

 

ⁿ

[exp(-E

'

n

)]

'*

n

(x

₂

)

'

n

(x

₁

)

-1

(11.41)

где

f

_nm

=

'*

n

(x)

f(x)

'

m

(x)

dx

.

(11.42)

Если же стремится к бесконечности и t тоже велико (например, t=/2), то все экспоненты будут пренебрежимо малы по сравнению с экспонентой, содержащей наименьшее значение энергии E'₀. Таким образом, в пределе

lim

f

=

f

₀₀

->

(11.43)

Этот результат можно записать в виде

=-

'*

0

V(x)

'

0

dx

+

'*

0

V'(x)

'

0

dx

(11.44)

Мы, конечно, должны вычесть эту величину из E'₀. Однако если H — гамильтониан, соответствующий действию S', т.е. если

H'

=

p^2

2m

+

V'(x)

,

(11.45)

то

H'

'

0

=

E

'

0

'

0

,

(11.46)

так что

E

'

0

-

=

'*

0

H'

'

0

dx

+

'*

0

V

'

0

dx

-

'*

0

V'

'

0

dx

(11.47)

Но точный гамильтониан можно записать в виде

H

=

p^2

2m

+

V

=

p^2

2m

+

V'

+

V

-

V'

=

H'

+

V

-

V

,

(11.48)

а это означает, что

E

₀

=

'*

0

H'

'

0

dx

,

(11.49)

где '₀ — нормированная волновая функция, соответствующая низшему энергетическому состоянию системы с гамильтонианом (11.45). Отметим, что оценка наименьшей энергии (11.49) зависит от произвольного потенциала V'(x) только лишь через волновую функцию '₀. В силу неопределённости потенциала произвольной является и функция '₀. Поэтому вместо того, чтобы подбирать потенциал V', находить по нему соответствующую волновую функцию и потом переходить к вычислению соотношения (11.49), мы могли бы подобрать волновую функцию и потом вычислить правую часть (11.49), совершенно не заботясь о потенциале, которому отвечает эта волновая функция. При таком подходе переменной является скорее волновая функция '₀, а не потенциал V'(x). Отсюда видно, что полученный результат — просто другой способ толкования соотношения (11.33).

Если бы все задачи были такими, как в данном примере, когда оказывается применимым выражение (11.13), то не возникало бы оснований для столь длинных рассуждений. Однако существуют значительно более сложные интегралы, для которых выражение (11.13), по крайней мере в той степени, насколько мы можем сейчас об этом судить, не столь просто преобразуется к соотношению (11.33). Такой пример мы рассмотрим в следующем параграфе.

§ 4. Медленные электроны в ионном кристалле ²¹)

²¹ См. работу [8].

Пусть электрон движется в ионном кристалле, например в кристалле хлористого натрия. При этом он взаимодействует с ионами, которые не являются жёстко закреплёнными, и создаёт вокруг себя искажение кристаллической решётки. Если электрон движется, то область возмущения перемещается вместе с ним. Такой электрон вместе с возмущаемой им окрестностью был назван поляроном.

Вследствие возмущения решётки энергия электрона уменьшается. Кроме того, поскольку электрон перемещается и ионы должны двигаться согласованно с возмущением, то эффективная масса электрона (или, применяя общепринятый термин — масса полярона) превосходит значение массы, которое получилось бы, если решётка состояла бы из жёстко закреплённых точек. Точный квантовомеханический анализ движения такого полярона чрезвычайно сложен, и мы сделаем некоторые допущения, удовлетворить которым в реальном случае, вероятно, весьма трудно. Тем не менее мы вслед за рядом физиков будем рассматривать такую идеализированную задачу [9] не только потому, что она, возможно, отражает реальное поведение электрона в кристалле, но также и потому, что она является одним из простейших примеров взаимодействия частицы и поля. Вариационный метод вычисления интегралов по траекториям оказывается в этом случае весьма плодотворным.