Квантовая механика и интегралы по траекториям

Сначала отметим, что даже если бы ионы были жёстко закреплены в кристалле, тем не менее электрон двигался бы в очень сложном потенциальном поле. При этом можно показать, что существуют решения уравнения Шрёдингера для электрона с определёнными волновыми числами k. Энергетические уровни в этих решениях обычно являются весьма сложными функциями волнового числа. Тем не менее мы предположим, что связь между энергией E и волновым числом k квадратична:

E

=

h^2k^2

2m

,

(11.50)

где m — постоянная величина, не обязательно равная массе электрона в вакууме. Далее заметим, что при воздействии электрона на решётку отрицательные ионы отталкиваются, а положительные притягиваются. Движение ионов можно исследовать, рассматривая их как набор гармонических осцилляторов и применяя методы гл. 8. Однако мы предположим, что возникают только такие высокочастотные гармоники, в которых ионы с разным зарядом движутся в противоположных направлениях. Частота гармоники _k зависит от волнового числа соответствующего собственного колебания, но мы пренебрежём этой зависимостью и будем считать, что — постоянная величина.

Наша задача заключается в том, чтобы найти электрическую силу, создаваемую возмущением, характеризуемым волновым числом k, и определить движение электрона под действием этой силы. Пренебрежём пока атомной структурой и будем рассматривать вещество нашего кристалла просто как непрерывный диэлектрик, в котором распространяются волны поляризации. Если P — вектор поляризации, имеющий вид продольной волны

P

=

k

k

a

_k

e

^ik·r

,

(11.51)

то плотность заряда ионов равна

=

·P

=

k

a

_k

e

^ik·r

(11.52)

Если V — потенциал, то

^2V

=

.

(11.53)

Поэтому если q_k — амплитуда k-й продольной бегущей волны, то поляризация a_k пропорциональна q_k и взаимодействие между волной поляризации и электроном пропорцинально сумме членов вида (q_k/k) exp(ik·x)по всем k.

Так как энергия и импульс электрона связаны выражением E=p^2/2m, то мы можем записать лагранжиан всей системы в виде

L

=

1

2

|r|^2

+

 

^k

1

2

(q

2

k

-

q

2

k

)+

22

V

1/2

 

^k

1

k

q

_k

e

^ik·r

(11.54)

Первый член этого выражения — энергия электрона с координатой r, помещённого в кристалл с жёсткой решёткой. Второй член представляет собой лагранжиан колебаний поляризации в предположении, что все волны поляризации имеют одинаковую частоту и амплитуда k-го собственного колебания равна q_k. Последний член является лагранжианом взаимодействия электрона с колебаниями решётки, где V — объём кристалла, — постоянная величина. Чтобы упростить все последующие формулы, мы записали это выражение в безразмерном виде, т.е. единицы энергии, длины и времени выбраны так, что не только h, но и общая частота осцилляторов , а также масса электрона m — все равны единице. Тогда постоянная связи а равна безразмерному отношению:

=

1

2

1

-

1

e^2

,

(11.55)

где и —соответственно статическая и динамическая диэлектрические постоянные. В типичном случае, например в кристалле NaCl, значение составляет около 5. Вычисляемые значения энергии будут выражены в единицах h.

После того, как мы решили задачу о движении гармонического осциллятора, можно изучить и квантовомеханическое движение электрона. Например, амплитуда вероятности того, что электрон выходит из точки r₁, когда все осцилляторы находятся в основном состоянии, и заканчивает движение точке r₂ при условии, что все осцилляторы снова находятся в основном состоянии, равна

G

₀₀

(2,1)

=

e

^iS

Dr(t)

(11.56)

(при этом мы использовали результаты гл. 8) и

S

=

1

2

dr

dt

^2

dt

+

2

k^2

e

^ik·r(t)

e

^-ik·r(s)

e

^-i|t-s|

dt

ds

d^3k

(2)^3

.

(11.57)

Проинтегрировав по волновым числам k, получим

S

=

1

2

|r|^2

dt

+

i

8

e^-i|t-s|

|r(t)-r(s)|

dt

ds

.

(11.58)

Величина G₀₀(2,1) зависит от начального и конечного положений электрона r₁ и r₂ и от рассматриваемого интервала времени T. Так как эта функция представляет собой ядро, она является решением волнового уравнения Шрёдингера, рассматриваемого в зависимости от величины временного интервала T. Поэтому в её экспоненциальные множители войдут частоты, пропорциональные уровням энергии F_m. Найдём низший из этих энергетических уровней.

Как уже отмечалось, развивая наш вариационный принцип, мы не интересовались ядрами, в которых величина T имела бы смысл реального интервала времени; напротив, мы рассматривали мнимые величины, подобные появляющимся в выражении (11.8) при больших значениях . Прослеживая все этапы, приведшие к выражению (11.58), можно легко показать для мнимых значений временной переменной , что окончательный вид ядра будет таким:

K(2,1)

=

e

^S

Dr(t)

,

(11.59)

где переменная t изменяется от 0 до и

S

=

1

2

dr

dt

^2

dt

+

8

exp(-|t-s|)

|r(t)-r(s)|

dt

ds

.

(11.60)

Этот результат совпадает с тем, что получится, если в выражении (11.58) переменную t заменить мнимой величиной it. При больших значениях это ядро асимптотически становится пропорциональным exp(-E₀).

Мы имеем сравнительно сложный интеграл по траекториям, к которому и попытаемся применить наш вариационный принцип. Сначала выберем некоторое простое действие S' грубо аппроксимирующее истинное действие S, а потом найдём E' и .