Квантовая механика и интегралы по траекториям

Именно здесь оказывается кстати принцип минимума. Он гласит, что если бы мы вычислили F'₀- для различных «действий» S' то результат, дающий наименьшее значение, был бы наиболее близок к правильному значению свободной энергии F ²⁰). На самом деле энергия F соответствует, конечно, случаю S'=S, однако можно считать, что если S и S' отличаются на некоторую величину первого порядка малости, то отличие F'- от F не превышает величины второго порядка малости.

²⁰ Стоит снова подчеркнуть, что как S, так и S' не являются функционалами действия в собственно физическом значении этого понятия, так как оба они содержат мнимую переменную u использованную в качестве «временной» переменной. Однако оперировать с интегралами по траекториям для этих функционалов можно так же, как для использованных выше физических функционалов действия.

Если бы удалось угадать общий вид функции S', пусть даже с точностью до каких-то неопределённых параметров, то можно было бы вычислить F'-, оставляя эти параметры неизвестными. Затем, минимизируя F'-, можно было бы подобрать лучшие значения этих параметров, «лучшие» в том смысле, что для них F'- наименее отличалось бы от истинного значения энергии F

Аналогичный принцип минимума можно использовать, чтобы определить приближённое значение энергии наинизшего состояния системы E₀. Напомним, что

Z

=

e

^-F

=

ⁿ

e

^-E_n

.

(11.12)

По мере того как температура системы убывает (т.е. с ростом величины ), члены этого ряда, содержащие более высокие значения энергии, становятся все менее и менее существенными. При определённых обстоятельствах в ряду Z будет преобладать член с наименьшей энергией e^-E₀, т.е.

lim

Z

=

e

^-E₀

.

->

(11.13)

Теперь, рассуждая подобно предыдущему случаю, можно просто заменить в формулах F на E₀. Определим E'₀ как результат вычисления интеграла по траекториям с новым действием S и запишем

E

₀

=E'

₀

-

(11.14)

в качестве первого приближения в пределе больших значений .

При отыскании E₀ с помощью этого приёма наша задача будет несколько проще, чем в случае свободной энергии F. В частности, можно пренебречь условием совпадения начальной и конечной точек траекторий. Чтобы понять это, вернёмся к выражению (10.28) и заметим, что с ростом в матрице плотности (x',x) доминирующим также становится член нулевого порядка и она стремится к величине e^-E₀(x')*₀(x). Поэтому точки x' и x войдут только в предэкспоненциальный множитель, и их положение не повлияет на поведение экспоненты, в то время как оно является основным в таком вычислении E₀.

§ 2. Применение вариационного метода

В качестве примера вычисления функции распределения с использованием только что описанного вариационного принципа рассмотрим случай одномерного движения одной частицы. Используя приближение, развитое в гл. 10, действие для такой частицы можно записать в виде

S

=-

⁰

m

2

[x(t)]^2

+

V[x(t)]

dt

.

(11.15)

Тогда при больших значениях функция распределения равна

e

^-E₀

_x0

^x₀

exp

-

⁰

m

2

[x(t)]^2

+

V[x(t)]

dt

Dx(t)

dx

₀

.

(11.16)

Этот интеграл взят по тем тракториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам.

В § 2 гл. 10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда kT велико по сравнению с h) величина h столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки x₀, не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной V(x₀), и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной

(e

^-E₀

)

_{классич}

=

m

2

1/2

e

^-V(x)

dx

,

(11.17)

как показано в выражении (10.48).

В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путём разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала U, полученного специальным методом усреднения. Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы.

Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию W(x), где x среднее положение траектории, определяемое выражением

x

=

1

⁰

x(t)

dt

.

(11.18)

Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид

S'

=

-

⁰

m

2

x^2

dt

-

W(

x

)

.

(11.19)

С помощью этого более общего выражения можно вычислить как F', так и S-S'.

Следуя тем же путём, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим

=

1

exp

-

⁰

m

2 x^2 dt

{exp[ - W(x) ]} Dx(t) dx₀

x

x

-

1

⁰

V[x(t')]

dt'

-

W(

x

)

x

x

exp

-

⁰

m

2

x^2

dt

{exp[

-

W(

x

)

]}

Dx(t)

dx

₀

.

(11.20)