Квантовая механика и интегралы по траекториям

Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам x₀.

Отметим, что числитель выражения для очень похож на выражение для I(x), введённое в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением x и отложить интегрирование по всем возможным значениям x на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины I(x), мы видим, что числитель в не зависит от t'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что

Y

=

x

₀

-

x

.

(11.21)

Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то

=

^-

^-

[

V(x

₀

)

-

W(

x

)

]

exp

-

6m

(x

₀

-

x

)^2

x

x

{exp[

-

W(

x

)

]}

dx

₀

d

x

x

^-

^-

exp

-

6m

(x

₀

-

x

)^2

x

x

{exp[

-

W(

x

)

]}

dx

₀

d

x

-1

.

(11.22)

Интеграл по x₀ в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и даёт (/6m) ^1/2 . Кроме того, интеграл в числителе, содержащий W(x), даёт в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию

V(x)

=

6m

^-

V(x

₀

)

exp

-

6m

(x

₀

-

x

)^2

dx

₀

.

(11.23)

Вид функции

V(x)

отражает учтённый нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала V(x₀) с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции U(x₀), определённой соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова (h^2/12m) ^1/2 . Для атома гелия при температуре 2° К эта ширина порядка 0,7 A, однако при комнатных температурах она составит не более 2% от 2,7 A (диаметр атома гелия). Величину теперь можно записать в виде

=

[ W(x) -

V(x) ] {exp[ - W(x) ]} dx

{exp[ - W(x) ]} dx

(11.24)

Следующий шаг состоит в вычислении W(x), исходя из того, что в соответствии с выражением (11.13) мы должны получить наименьшее значение величины F'-. Значение F' определено выражением

exp(-E

'

0

)

=

e

^S'

Dx(t)

=

=

exp

-

⁰

m

2

x^2

dt

-

W(

x

)

Dx(t)

=

=

{exp[-W(

x

)]}

x

x

 

^{x fixed}

exp

-

⁰

m

2

x^2

dt

Dx(t)

d

x

.

(11.25)

Интеграл по траекториям здесь несложен и равен m/2, так что получим

exp(-E

'

0

)

=

m

2

1/2

{exp[-W(

x

)]}

d

x

.

(11.26)

Следующий шаг — оптимальный выбор функции W(x) — требует, чтобы мы определили влияние малых изменений функции W(x) на значение величины F'- и приравняли его нулю. Поэтому, представив W в виде

W

->

W(

x

)

+

(

x

)

,

(11.27)

найдём из выражения (11.26) вариацию F':

E

'

0

=

(

x

)

{exp[-W(

x

)]}

d

x

{exp[-W(x)]} dx

,

(11.28)

а из выражения (11.24) определим вариацию :

=

{exp[-W(x)]} { (x) [

V(x) - W(x)] + (x) } dx

{exp[-W(x)]} dx

+

+

1

( {exp[-W(x)]} dx )^2

x

{exp[-W(

x

)]}

x

x

[

W(

x

)

-

V(x)

]

d

x

(

x

)

{exp[-W(

x

)]}

d

x

.

(11.29)

Для нахождения экстремального значения правой части выражения (11.13) необходимо, чтобы

E

'

0

-

=0,

(11.30)

что имеет место, если выбрать

W(

x

)

=

V(x)

.

(11.31)

Это в свою очередь означает, что =0 и что функция F' имеет такой же вид, как и классическая свободная энергия, определённая выражением (11.17). Однако потенциал в выражении для F' был заменён на V(x), поэтому

exp(-E

'

0

)

=

m

2

1/2

{exp[-

V(x)

]}

d

x

,

(11.32)

где

V(x)

— эффективный классический потенциал, заданный выражением (11.24). При больших значениях свободная энергия системы по существу совпадает с нижним уровнем энергии E₀ поэтому выражение (11.32) мы можем интерпретировать как аппроксимацию E₀. Это означает, что вариационный подход приводит к тому же результату, что и подход, изложенный в гл. 10 [см. выражения (10.67) и (10.68)].

§ 3. Стандартный вариационный принцип

В квантовой механике существует стандартный вариационный принцип, называемый методом Рэлея — Ритца. Он состоит в следующем: если H — гамильтониан системы, у которой наименьшее значение энергии равно E₀, то для любой произвольной функции f имеет место соотношение

E

₀

=

f*Hfd(объём)

f*fd(объём)

-1

.

(11.33)

Это соотношение довольно легко доказывается и имеет весьма широкое применение. Если функция f разложена в ряд по собственным функциям гамильтониана _n, т.е. если f=a_nn то очевидно, что

f*Hfd(объём)

f*fd(объём)

-1

=

=

 

ⁿ

|a

_n

|^2

E

_n

 

ⁿ

|a

_n

|^2

-1

.

(11.34)

Последнее выражение является усреднением по значениям энергии (с положительными весами |a_n|^2) и больше (или равно) наименьшему значению энергии E₀. Смысл соотношения (11.33) совпадает с содержанием выражения (11.13); фактически это соотношение является частным случаем выражения (11.13) (чтобы быть более точными, ограничим этот вывод теми случаями, в которых гамильтониан H не содержит зависимости от магнитного поля; тогда наше заключение является вполне точным). Для иллюстрации связи между этими двумя соотношениями рассмотрим следующий пример.

Предположим, что действие S соответствует лагранжиану вида

L

=

1

2

mx^2

-

V(x)

,

(11.35)