Квантовая механика и интегралы по траекториям

Заметим, что в соответствии с выражением (11.60) на частицу в любой момент времени «воздействует» реакция от её положения в предыдущий момент времени, которая обратно пропорциональна расстоянию между этими положениями и экспоненциально затухает с увеличением интервала между соответствующими моментами ²²). Причиной этому служит то, что вызванное электроном возмущение в кристаллической решётке потребует некоторого времени для процесса релаксации ионов, и в этот релаксационный период электрон все ещё будет «чувствовать» старое возмущение.

²²) Хотя величина t в выражении (11.60) не является настоящим временем, а всего лишь переменной интегрирования, полезно рассматривать её, как мы это делали в § 2 гл. 10, в качестве времени.

Попробуем ввести действие S', обладающее всеми этими свойствами, за исключением того, что в законе взаимодействия вместо обратной пропорциональности расстоянию реакция положения будет иметь вид параболической ямы. Такая аппроксимация была бы непригодной, если расстояние |r(t)-r(s)| очень часто становилось бы чрезмерно большим. Однако, поскольку интервалы времени ограничены экспоненциальным затуханием, силы взаимодействия, большие значения этой разности, не могут дать сколько-нибудь существенного вклада в интеграл. Поэтому запишем

S'

=

-

1

2

|r|^2

dt

-

1

2

C

|r(s)-r(t)|^2

e

^-w|t-s|

dt

ds

.

(11.61)

Постоянная C определяет силу притяжения между электроном и ранее созданным им возмущением; будем рассматривать её в качестве подгоночного параметра. Кроме того, без особых трудностей можно допустить, что закон обрезания экспоненты содержит некоторую отличную от единицы постоянную w. С её помощью мы сможем частично компенсировать неточность, которая вносится при замене обратно пропорциональной зависимости от расстояния параболической ямой (в этой связи заметим также, что добавление ещё одной постоянной в параболический член не улучшает результата, так как такой член выпал бы при вычислении E'₀). Параметры C и w подберём далее таким образом, чтобы получить минимум E'₀.

Поскольку действие S' мы выбрали квадратичным, то все существенные интегралы по траекториям легко вычисляются методами, описанными в гл. 2.

Сравнивая выражения (11.60) и (11.61), видим, что

1

S-S'

=

8

1

|r(t)-r(s)|

e

^-|t-s|

ds

+

+

1

2

C

|r(t)-r(s)|^2

e

^-w|t-s|

ds

=

A+B

.

(11.62)

Сконцентрируем наше внимание на первом члене в правой части этого равенства A. Для выражения |r(t)-r(s)|^-1 в нем можно выполнить преобразование Фурье. Дело в том, что этот множитель возникает в результате преобразования Фурье при переходе от выражения (11.57) к (11.58). Таким образом, мы имеем

|r(t)-r(s)|

^-1

=

d^3k

exp{ik·[r(t)-r(s)]}

(2^2k)

^-1

.

(11.63)

Теперь необходимо изучить выражение

exp{ik·[r-r]}

=

(

e

^S'

exp{ik·[r-r]}

)

Dr(t)

e^S' Dr(t)

.

(11.64)

Интеграл в числителе имеет вид

I

=

exp

-

1

2

dr

dt

^2

dt

-

1

2

C

|r(t)-r(s)|^2

e

^-w|t-s|

dt

ds

+

+

f(t)

·

r(t)

dt

Dr(t)

(11.65)

где введено обозначение

f(t)

=

ik(t-)

-

ik(t-)

.

(11.66)

Поскольку выражение (11.65) зависит от f или k, можно вычислить его, за исключением некоторого нормирующего множителя, который был опущен в (11.64). Между прочим, отметим, что в (11.65) три взаимно перпендикулярные компоненты разделяются и нам останется рассмотреть лишь скалярный случай. Метод интегрирования здесь совпадает с предложенным в гл. 3 для вычисления гауссовых интегралов по траекториям. Поэтому подставим X(t)=X'(t)+Y(t), где X'(t)— функция, для которой показатель экспоненты минимален; переменной интегрирования теперь является Y(t). Поскольку показатель экспоненты квадратичен по X(t), а X' определяет его экстремум, то Y(t) может войти в показатель только в квадрате, поэтому Y выделится как множитель, не содержащий f и обращающийся после интегрирования в постоянную (зависящую только от T):

I

=

exp

-

1

2

X'^2(t)

dt

-

1

2

C

[X'(t)-X'(s)]^2

e

^-w|t-s|

dt

ds

+

+

f(t)

X'(t)

dt

.

(11.67)

Если время изменяется от t=0 до t=T, то удобно выбрать граничные условия X'(0)=X'(T)=0. Условие обращения в нуль вариации даёт интегральное уравнение

d^2X'(t)

dt^2

=

2C

[X'(t)-X'(s)]^2

e

^-w|t-s|

ds

-

f(t)

.

(11.68)

С помощью этого уравнения выражение (11.67) можно записать в более простом виде:

I

=

exp

1

2

f(t)

X'(t)

dt

.

(11.69)

Теперь мы должны ещё решить уравнение (11.68) и подставить результат в (11.69). Чтобы сделать это, введём функцию

Z(t)

=

w

2

e

^-w|t-s|

X'(s)

ds

(11.70)

так, чтобы

d^2Z(t)

dt^2

=

w^2

[Z(t)-X'(t)]

.

(11.71)

Тогда уравнение (11.68) принимает вид

d^2X'(t)

dt^2

=

4C

w

[X'(t)-Z(t)]

-

f(t)

.

(11.72)

Как видно, уравнения разделяются и легко решаются. Подстановка в соотношение (11.69) решения уравнения (11.68) X'(t) даёт

I

=

exp{ik·[X-X]}

=

=

exp

-

2Ck^2

v^2w

(1-e

^-v|-|

)

-

w^2

2v^2

k^2

|-|

,

(11.73)

где мы положили

v^2

=

w^2

+

4C

w

.

(11.74)

Этот результат нормирован правильно, так как он справедлив в случае k=0. После подстановки выражения (11.73) в (11.63) получим интеграл по k от простой гауссовой функции, так что для A имеем

A

=

^{- 1/2}

v

w

⁰

w^2

-

v^2-w^2

v

(1-e

^-v

)

- 1/2

e

^-w

d

.

(11.75)

Чтобы найти B, нам нужно определить величину |r(t)-r(s)|^2. Её можно получить, разложив обе части выражения (11.73) в ряд по k с точностью до членов порядка k. Таким образом,

1

3

|r-r|^2

=

4C