Квантовая механика и интегралы по траекториям

В книге Фейнмана и Хибса не дано строгого определения интеграла по траекториям; он вводится чисто интуитивно как предел соответствующего многократного интеграла (заметим, что введение комплексной единицы существенно усложняет строгое обоснование такого предельного перехода). Впрочем, для физика это в большинстве случаев не очень важно; ему нужна лишь уверенность, что строгое доказательство может быть получено.

Как отмечают сами авторы, их книга является не законченным учебником квантовой механики, а скорее введением в этот важнейший раздел современной физики; в качестве учебника её можно использовать совместно с каким-либо другим пособием, где подробно рассмотрены уравнение Шрёдингера и применение аппарата квантовой механики к решению конкретных физических задач (например, из курсов [1—7]).

Книга, несомненно, окажется полезной и интересной как для специалистов, которые уже владеют методами квантовой теории и желают расширить свой теоретический кругозор взглянув на знакомые вещи с несколько другой стороны, так и для аспирантов и студентов, изучающих квантовую механику.

Перевод выполнен Э. М. Барлитом (предисловие, гл. с 1 по 4 и с 10 по 12) и Ю. Л. Обуховым (гл. с 5 по 9).

В. С. Барашенков

Литература

1.

Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, М., 1958.

2.

Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики, М., 1966.

3.

Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1963.

4.

Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, М., 1960.

5.

Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, М., 1963.

6.

Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая механика, М., 1962.

7.

Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957.

8.

Wiener N., Jorn. of Mathem. and Physics, Massachusetts Institute of Technology, 2, 131 (1923).

9.

Wiener N., Proc. London Math. Soc. (Ser. 2), 2, 454 (1924).

10.

Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.

Предисловие

В основу своего нового подхода к квантовой механике Р. Фейнман положил интеграл по траекториям. Основные физические и математические идеи такого подхода впервые возникли у него во время прохождения аспирантуры в Принстоне, хотя в законченном виде, подобном изложению в настоящей книге, они не были сформулированы ещё несколько лет. Эти ранние исследования были вызваны проблемой расходимости собственной энергии электрона. В ходе работы возникла идея некоторого «принципа наименьшего действия», с помощью которого удалось справиться с расходимостями, возникающими в классической электродинамике.

Затем появилась мысль применить этот принцип к квантовой механике, чтобы получить классическую механику как предельный случай квантовой при ℎ стремящейся к нулю.

Фейнман в это время пытался как-нибудь связать квантовомеханическое описание явлений с такими классическими понятиями, как лагранжиан или гамильтонова функция действия — первообразная от лагранжиана. Из бесед с одним европейским физиком, гостившим в то время в США, он узнал о статье Дирака¹), где рассматривалось преобразование квантовомеханической волновой функции с помощью экспоненты от лагранжиана, помноженного на 𝑖ε. Дирак предполагал, что это преобразование аналогично переходу от значения волновой функции в некоторый момент к её значению в другой момент, отделённый интервалом ε , причём такой переход совершается простым умножением на упомянутую экспоненту.

¹ Подробно об истории возникновения этих идей Фейнман рассказывает в своей Нобелевской лекции [УФН, 91, вып. 1, 29 (1967)].— Прим. перев

Возник вопрос: что подразумевал Дирак под словом «аналогично»? Фейнман решил выяснить, не означает ли оно «равняется». Краткое исследование показало, что эту экспоненту действительно можно использовать именно таким образом.

Последующий анализ привёл к применению экспоненты от 𝑆 (в этой книге 𝑆 — интеграл по времени от лагранжиана — будет называться действием) в качестве функции преобразования для конечных интервалов времени. Однако при использовании такой формулы необходимо для каждого момента времени вычислять интегралы по всем пространственным переменным.

Когда готовилась статья, излагающая эту идею [1], возникло представление об «интеграле по всем траекториям» как методе описания и как способе выполнения необходимых интеграций по всем координатам. К тому времени было уже разработано несколько математических приёмов с применением интегрирования по траекториям и рассмотрено несколько приложений, хотя главным направлением работы являлась в то время квантовая электродинамика. Фактически интегрирование по траекториям ни тогда, ни впоследствии не стало удовлетворительным способом устранения расходимостей квантовой электродинамики; зато выяснилось, что этот метод чрезвычайно полезен для решения задач в другой области. В частности, с его помощью законы квантовой электродинамики выражаются в таком виде, что их релятивистская инвариантность становится очевидной. Кроме того, были найдены успешные приложения этого метода и к другим квантовомеханическим задачам.