Лейбниц. Анализ бесконечно малых

С помощью данного изобретения можно было умножать большие числа. Следовало взять соответствующие колонки, чтобы цифры в верхних квадратах образовали искомое число. После этого нужно просто сложить между собой значения из соответствующей строки с учетом их разрядности. Так, для умножения числа 625 на 7 в соответствующем ряду умножения получались значения 4 для тысяч, 3 = 2 + 1 для сотен, 7 = 4 + 3 для десятков и 5 для единиц. То есть 625 х 7 = 4375. Мы можем убедиться в этом, взглянув на рисунок 7. Если нужно умножить большие числа, достаточно выбрать каждый ряд цифр второго множителя и последовательно сложить числа, полученные предыдущим способом. Чтобы умножить 2134 на 732, необходимо распределить таблицы так, как показано на рисунке 8. Суммируются значения, соответствующие каждому множителю. Следует учитывать, что когда мы складываем по диагонали, а сумма больше девяти, как в случае с десятками произведения 2134x3, мы помещаем на их место единицы, а десятки этого результата прибавляются к следующей цифре.

РИС. 7

Произведение сводится к тому, чтобы провести серию сложений, поскольку произведения для каждой цифры уже имеются в таблице. Чтобы провести деление, требуется обратный процесс, вычитание. Если мы хотим разделить 4312 на 625, нужно взять таблички, соответствующие делителю (625), и выполнить все операции умножения в каждой линии с целью найти наиболее близкое к делимому (4312) число, меньшее его. Таким образом мы получаем частное (6), как видно из рисунка 9. Наконец, чтобы найти остаток от деления, мы должны вычесть из 4312 значение 3750, что дает нам в результате 562.

РИС. 8

РИС. 9

Также с помощью таблиц можно совершать возведение в степень, извлечение квадратного и кубического корня.

Непер вошел бы в историю математики, даже если бы не создал этих способов быстрого вычисления. В своей книге, опубликованной ранее, в 1614 году, он представил свое самое важное изобретение: логарифмы. Речь идет о методе, который позволяет превращать произведение в сложение, деление — в вычитание и возведение в степень — в умножение. Упрощение подобных операций было очень полезно, особенно в астрономических вычислениях. Великий французский математик Пьер-Симон де Лаплас (1749-1827) сказал по этому поводу: «Похоже, что сокращением работы по вычислению с нескольких месяцев до нескольких дней изобретение логарифмов удвоило жизнь астрономам».

Логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число Ь. В символьном выражении это означает:

log_ab = х ↔ а^х = b.

Например, логарифм 81 по основанию 3 равен 4 (log₃81 = 4), поскольку З⁴ = 81.

Нахождением логарифма называется операция, обратная возведению в степень, точно так же, как вычитанием является действие, обратное сложению. Если у нас есть значение суммы и мы знаем одно из слагаемых, поиск другого слагаемого означает вычитание из суммы значения известного слагаемого; следовательно, это обратные операции. Точно так же, если мы знаем значение степени и ее показатель, найти основание равносильно извлечению корня, то есть нахождению корня той же степени из значения данной степени. А если мы знаем основание, нахождение показателя степени превращается в нахождение логарифма по этому основанию значения этой степени. Поскольку сумма двух чисел обладает свойством коммутативности, то есть порядок слагаемых не меняет сумму, у этой операции есть только одна противоположная. Поскольку возведение в степень некоммутативно, существуют две обратные операции, в зависимости от того, известно ли основание или показатель степени.

Наряду с логарифмами по основанию 10, которые обычно просто сокращаются как log или lg, без указания основания, также широко используются логарифмы по основанию е, трансцендентного числа из той же серии, что и знаменитое число я. Эти логарифмы получили название натуральных логарифмов и обычно обозначаются In или log_e.

Укажем основные свойства, на которых основывается вычисление с помощью логарифмов и которые верны для любого основания.

— Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих двух множителей: log (а • b) = loga + logb.

— Логарифм частного двух чисел равен разности между логарифмом числителя и логарифмом знаменателя:

log(a/b) = lig a - log b.

— Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания: loga^b = b • loga.

Из вышеперечисленных свойств видно, что операции заменяются другими, более простыми. Изначально для применения данного метода было необходимо напрямую работать с таблицами логарифмов.

Метод логарифмического исчисления сразу же взяли на вооружение современики, которые смогли оценить те удобства, которые он обеспечивал. И очень быстро были созданы первые механические инструменты, упрощавшие использование логарифмов.