Лекции о Спинозе. 1978 – 1981

Хорошо. Какое различие существует между этими тремя типами отношений? Я бы сказал, что дробное отношение является несводимым. Почему? Если я говорю ⅔, то ⅔ – это опять-таки не число. Почему ⅔ – не число? Потому что невозможно назначить число, которое, будучи умноженным на 3, дает 2. Стало быть, это не число. Дробь не есть число, это комплекс чисел, которые я решаю условно считать числом, то есть которые я условно подчиняю правилам сложения, вычитания, умножения. Но дробь, очевидно, не число. Как только я нахожу дробь, я могу трактовать числа как дроби, то есть как только я начинаю пользоваться символикой дробей, я могу считать число, например, дробью от 2: я всегда могу записать 4 над 2: 4 над 2 = 2. Но дроби, в своей несводимости к целым числам, чисел не имеют: это комплексы целых чисел. Хорошо. Стало быть, уже дробь способствует возникновению своего рода независимости отношения от своих термов. В этом очень важном вопросе логики отношений вся отправная точка данной логики, очевидно, такова: в каком смысле существует непротиворечивость отношения независимо от его термов? Дробное число может дать мне уже своего рода первое приближение, но это не препятствует тому, что в дробном отношении термы следует еще более специфицировать. Термы должны быть специфицированы, то есть вы всегда можете надписать 2 над 3, но отношение здесь – между двумя термами: 2 и 3. Оно несводимо к этим термам, поскольку само является не числом, а комплексом чисел; но они должны быть специфицированными, термы должны быть даны.

Еще один шаг. Когда я имею алгебраическое отношение типа x, деленное на y, на сей раз у меня нет заданных термов, у меня есть две переменные. У меня есть переменные. Вы видите, что все происходит так, как если бы отношение приобрело степень независимости, высшую по отношению к его термам. У меня больше нет необходимости назначать какое-либо детерминированное значение. В дробном отношении я не могу избегнуть следующего: я должен назначать детерминированное значение термам отношения. В алгебраическом же отношении у меня даже нет больше необходимости назначать детерминированное значение термам отношения. Термы отношения суть переменные. Но тем не менее еще необходимо, чтобы мои переменные имели детерминируемое значение. Иными словами, x и y могут иметь всевозможные разновидности сингулярных значений, но они должны иметь хотя бы одно. Вы видите: в дробном отношении я могу иметь лишь одно сингулярное значение либо же эквивалентные сингулярные значения. В алгебраическом отношении у меня больше нет необходимости в каком-либо сингулярном значении; это не препятствует тому, что мои термы по-прежнему имеют специфицируемое значение, и это отношение действительно не зависит от любого конкретного значения переменной, но зависит от детерминируемого значения переменной.

Дифференциальное отношение

Вот что совсем ново в дифференциальном отношении: мы устраиваем его, делая третий шаг. Когда я говорю dy / dx, вы помните то, что мы видели: dy по отношению к y равно нулю: это бесконечно малая величина. dx по отношению к x равно нулю: стало быть, я могу записать это – и в XVII веке постоянно так и пишут – в такой форме: dy / dx = 0 / 0. Но ведь отношение 0 / 0 не равно нулю. Иными словами, когда исчезают термы, отношение остается. На этот раз термы, между которыми устанавливается отношение, не являются ни детерминированными, ни даже детерминируемыми. Единственно детерминируемым является отношение между его термами. Именно здесь логика делает скачок, и скачок основополагающий. В этой форме дифференциального исчисления открыта область, где отношения уже не зависят от их термов: термы сводятся к исчезающим величинам, а отношение между этими исчезающими величинами не равно 0. Так что я записал бы – здесь я передаю все очень приблизительно: dy / dx = z. Что означает “= z “? Это, разумеется, означает, что дифференциальное отношение dy / dx, которое складывается между исчезающей величиной x и исчезающей величиной y, строго говоря, ничего не сообщает нам об x и y, но кое-что сообщает нам о z. Например, примененное к окружности, дифференциальное отношение dy / dx кое-что говорит нам о касательной, называемой «геометрическая касательная».