Лестница Шильда

Эффект параллельного переноса вектора по определенному маршруту можно представить в виде карты линий, соединяющих касательные пространства в начальной и конечной точках маршрута. Говорят, что для этого пути наблюдается , выраженная вращением Семейство геометрий, для которых вышеуказанный апплет вычисляет эволюцию спиновой сети, характеризуется простым правилом: параллельный перенос по прямой из точки в точку поворачивает вектор вокруг оси на угол, равный a, причем

a = k(y₀z₁ — z₀y₁, z₀x₁ - x₀z₁, x₀y₁ - y₀x₁)

и k параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол

Θ_loop = 2€²k.

Эффект голономии для частицы с общим спином определяется унитарной матрицей U_j. Ее можно получить, использовав соответствующее - гомоморфизм из группы в группу унитарных линейных операторов на гильбертовом пространстве, содержащем спиновое состояние частицы.[127]

Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j-спинового представления в 2j-мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения в начале и конце ребра:

a_cdge(m_s, m_c) = [jm_c|U_j(R)|jm_s]

Для любого вращения действует на дуальные векторы так, что

U_j*(R)|jm| = |jm|U_j (R)^-1

Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j₁,j₂, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j Их можно сравнить посредством линейной карты между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:

a_node(m₁, m₂, m₃) = [j₃m₃|C(|j₁ m₁] × |j₂ m₂])

Карта нужна, чтобы эффекты произвольного вращения коммутировали между собой:

C(U_j1(R)|j₁ m₁]×U_j2(R)j₂ m₂]) = U_j3(R)C(j₁ m₁]×|j₂ m₂])

При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:

a_node(m₁, m₂, m₃) = (U_j3(R)[j₃m₃|)C(U_j1(R)|j₁ m₁]×U_j2(R)j₂ m₂]) =

= [j₃m₃|U_j3^-1(R)U_j3(R)C(j₁ m₁]×|j₂ m₂]) = j₃m₃|C(|j₁ m₁ × |j₂ m₂])

Требуя, чтобы удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.

Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям в начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме Σ_m-edgesm = m_out-edge построить полную спиновую сеть.

Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном (Dan Christensen), которому я очень благодарен.

На языке теории групп можно назвать карту двух представлений группы U — того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G, узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого:-D), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036

Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте