Людвиг Больцман: Жизнь гения физики и трагедия творца

Одним из фундаментальных результатов, полученных Больцманом, была вероятностная трактовка термодинамических процессов, в частности второго закона термодинамики. Многим ученым было трудно поверить в то, что этот фундаментальный закон может нарушаться, допускать исключения. И все же Больцман оказался правым и в этом предвидении. Уже в 1912 г. ученик Больцмана польский физик М. Смолуховский выступает на одном из физических съездов с докладом, само название которого является примечательным: «Доступные наблюдению молекулярные явления, противоречащие обычной термодинамике», в котором говорит: «Лет десять тому назад было бы большим риском отзываться здесь с таким неуважением о традиционном понимании термодинамики. Однако в настоящее время, во-первых, мы уже не относимся с таким почтением к догмам и, во-вторых, произошел огромный сдвиг в оценке значения кинетической атомистики и термодинамики». За этими словами стояли исследования как самого М. Смолуховского, так и других ученых, развивающие и углубляющие намеченные Больцманом контуры новой теории — статистической физики.

Неоднократно на страницах нашей книги мы говорили о противоречии между обратимостью механических процессов и необратимостью тепловых. Эта необратимость состоит в закономерном переходе любой термодинамической системы из первоначального неравновесного состояния в равновесное. Казалось бы, что в этом нет ничего удивительного, каждый знает, что, когда мы под влиянием тех или иных жизненных коллизий начинаем нервничать, это состояние стресса рано или поздно проходит. (Я не имею в виду случаи патологии.) Однако вопрос можно поставить и несколько глубже: что является первопричиной начального «возбужденного» неравновесного состояния? В нашем примере — это жизненные коллизии, а в случае физической системы? Это может быть воздействие извне. Тогда что же удивительного в том, что при прекращении этого воздействия система приходит в равновесие? Однако существует еще одна, принципиально важная причина, вызывающая отклонение системы от равновесного состояния, на которую впервые обратил внимание Больцман. Речь идет о допускаемых теорией вероятности и статистической теорией мгновенных случайных отклонениях системы от равновесного состояния, называемых флуктуациями. Если молекулярно-кинетическая трактовка верна, то вследствие вероятностного характера процессов в системе, хаотичности движения молекул мы вправе ожидать, например, отклонения числа молекул в данном месте сосуда от средних значений, предсказываемых статистикой. Исследование этих флуктуации открывает широкие возможности для подтверждения статистической теории и определения границ применимости второго закона термодинамики. Этим проблемам посвятил свою научную жизнь М. Смолуховский. Его труды явились подтверждением справедливости больцмановских идей.

Смолуховский подвергает глубокому анализу само понятие «необратимость». Вспомним, что Больцман рассчитывал время возвращения молекулярной системы в первоначальное состояние и указывал, что в силу громадного числа частиц в системе это время настолько велико (по сравнению с человеческой жизнью!), что вероятность возврата можно практически считать равной нулю. Смолуховский развивает и конкретизирует эту мысль. «Представляется ли нам какой-либо процесс обратимым или необратимым, а это ведь является основным пунктом всего вопроса, зависит не от рода процесса, а только от начального состояния и продолжительности наблюдения», — пишет он. Решающим в критерии обратимости является отношение времени «обращения» и наблюдения. Можно привести простые расчеты, иллюстрирующие это.

Пусть в начальный момент времени N молекул газа равномерно заполняют весь предоставленный им сосуд. Вычислим, за какое время они в результате своего движения могут собраться лишь в левой половине сосуда с вероятностью, равной 0,9. Естественно, что вероятность того, что при одном измерении одна из молекул окажется в левой половине, равна 1/2, две молекулы — (1/2)², а вероятность нахождения N молекул в левой половине при одном измерении равна (1/2)^N. Вероятность того, что при одном измерении в левой половине сосуда не окажется N молекул, равна, очевидно, 1 — (1/2)^N, а при n измерениях — [1 - (1/2)^N]ⁿ. Тогда вероятность того, что после n измерений N молекул окажется в левой половине сосуда, равна

Так как w по условию равно 0,9, то

а так как число молекул N велико, то

ln (1 - 1/2^N) ≈ -1/2^N и n = 2^N.

Если измерения проводить через каждые Δt с, то N молекул с вероятностью 0,9 окажутся в левой половине сосуда через время τ = nΔt.