ЛОГИКА

§ 26. Так обстоит дело с понятиями, определениями и аксиомами математики. Сложнее обстоит дело с доказательствами. Во всех науках, кроме математических, доказательство всегда непосредственно связано с опытом. Это значит, что кроме той связи с опытом, без которой вообще не могло бы существовать никакое понятие, никакая аксиома, в науках этих в состав доказательства всегда входят такие части и такие данные, которые прямо предполагают обращение к опыту: к наблюдению, эксперименту и т. д.

Напротив, в математических науках доказательства — если рассматривать одну логическую их сторону, а не происхождение понятий, входящих в состав доказательств, — всегда ведутся таким образом, что в ходе доказательства математику не приходится прямо обращаться к опыту, помимо тех элементов опыта, которые уже содержатся в его понятиях, определениях и аксиомах. Иными словами, опыт входит в математические доказательства не непосредственно, как он входит в доказательства физика, химика, биолога, но лишь посредством понятий, которые некогда образовались на основе опыта, но в своём современном содержании являются отвлечёнными по отношению к этому опыту.

§ 27. Это различие между науками математическими и науками эмпирическими, т. е. доказывающими свои положения на основе прямого обращения к опыту, порождает различие в видах доказательства.

Доказательства математических наук, не требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и опирающиеся на опыт лишь через посредство тех элементов опыта, которые содержатся в основных понятиях, определениях и аксиомах этих наук, называются математическими доказательствами.

Доказательства наук о природе, необходимо требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и, таким образом, не ограничивающиеся теми элементами опыта, которые содержатся в их основных понятиях, называются эмпирическими доказательствами.

Из этих определений и объяснений ясно, что различие между этими двумя видами доказательства состоит вовсе не в том, что доказательства математических наук стоят якобы вне опыта, а доказательства эмпирических наук основываются на опыте. Все доказательства всех наук — математических так же, как и эмпирических, — предполагают опыт в качестве необходимой последней основы и проверочной инстанции всех своих истин и положений.

Различие между этими двумя видами доказательства обусловлено только тем, что в одном самым ходом доказательства требуется прямое обращение к данным опыта, в другом для осуществления доказательств достаточно той связи с опытом, которая дана уже в самом содержании понятий, входящих в состав доказательства.

Из сказанного видно, что различие между математическими и эмпирическими доказательствами — не безусловно. Ряд наук о природе, доказывающих свои истины при помощи прямого обращения к опыту, содержат в себе и такие части, в которых доказательства ведутся по методу доказательств математических наук. С другой стороны, и в математических науках математической форме доказательства часто предшествует обоснование, предполагающее прямое обращение к опыту, так что математическая форма доказательства вырабатывается впоследствии, когда доказываемый тезис, т. е. результат доказательства, стал уже известен из опыта. Примером такого перехода от найденного в опыте результата к его математическому и дедуктивному по форме обоснованию может служить уже упомянутая выше история архимедовского определения площади параболы.

Наконец, даже в строго математических по форме доказательствах последние основания, на которые эти доказательства опираются, а именно определения основных понятий науки и аксиомы, возникли в конечном счёте на основе опыта, хотя в том содержании, в каком они мыслятся наукой в настоящее время, они могут вследствие своей крайней отвлечённости казаться ни от какого опыта не зависящими.

Деление доказательств на математические и эмпирические зависит, как было показано, от того, ведётся ли доказательство без прямого обращения к опыту или же в состав доказательства в том или ином объёме входит также и прямое обращение к данным опыта.

§ 28. Доказательства различаются также и по ходу мысли в самом рассуждении. Доказательство, в котором рассуждение идёт от установленных или признанных положений — через ряд следствий, выведенных из этих положений, — к тезису или доказываемому суждению, называется прогрессивным доказательством. Название это показывает, что мысль в ходе рассуждения идёт всё время вперёд — от оснований — через рассуждение — к доказываемому тезису.

Так, например (см. рис. 68), из пифагоровой теоремы (а² + b²= с²) и из определения тригонометрических функций синуса и косинуса (sin(α)=a/c и cos(α)=b/c) может быть посредством прогрессивного доказательства выведена одна из основных формул тригонометрии.

Рис. 68