Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

В предыдущей главе мы видели, что глубокая асимметрия может порождать абсолютно симметричное гауссово распределение. Однако существуют и такие явления, распределениям которых присуща неотъемлемая асимметрия, и с этим ничего не поделаешь. Например, распределение семейных доходов (илл. 9) асимметрично, потому что у него есть жесткий нижний предел — нулевой доход, — а сверху оно не ограничено ничем. Поскольку мы не ожидаем в этом случае абсолютной симметричности распределения Гаусса, мы не считаем, что гауссова кривая должна сколько-нибудь точно описывать распределение доходов. Семейный доход определяется несколькими компонентами, и, следовательно, для доходов должен быть справедлив какой-то вариант центральной предельной теоремы. Но этому предположению, кажется, противоречит не только отсутствие симметрии. Кроме того, правая часть кривой приближается к горизонтальной оси гораздо медленнее, чем распределение Гаусса, но быстрее, чем распределение Коши, — на самом деле эта кривая больше похожа на распределение Коши, чем на гауссиану. Действительно, по двум последним столбцам можно заключить — и вполне справедливо, — что длинный хвост, начинающийся во второй половине распределения, тянется еще очень далеко. Действительно, чрезвычайно высокие доходы существуют и даже встречаются не слишком редко[47]. Значит ли это, что семейный доход — явление диконское?

Логнормальное распределение

Хотя этого не видно на первый взгляд, гауссиану все же можно использовать для описания распределения, представленного на илл. 9. Если отложить доходы по логарифмической шкале, так, чтобы расстояние от $1 до $10 по оси x было таким же, как расстояние от $10 до $100 и так далее, то кривая превратится в аккуратное, точное распределение Гаусса. Мы называем такие распределения логарифмически нормальными, или, сокращенно, логнормальными, потому что они выглядят как нормальное распределение, но в логарифмическом масштабе. Хотя действительно крупные доходы существуют, они не принадлежат к миру Диконии, потому что распределение Гаусса по-прежнему весьма хорошо их моделирует. Мы все еще не покинули пределов Тихонии.

Илл. 9. Распределение семейных доходов в США, 2010 г.

(График Йожефа Бенце, на основе данных интернет-сайта Бюро переписи населения США)

При помощи логарифмической шкалы математики сумели получить новую версию центральной предельной теоремы[48]. Если некоторая характеристика определяется несколькими слабыми компонентами, причем между этими компонентами нет достаточно сильной взаимозависимости и на одном конце распределения (левом или правом) существует естественная граница, не допускающая возникновения бо́льших или меньших значений, а на другом конце такого предела нет, то распределение этой характеристики по всей генеральной совокупности будет логнормальным.

Илл. 10. Распределение массы тела взрослых мужчин в Соединенных Штатах на 2010 г.

(График Йожефа Бенце, на основе данных интернет-сайта Cancer Network)

Масса тела является почти такой характеристикой, но все же не вполне. Разумеется, масса не может быть отрицательной, так что у нее имеется естественный нижний предел, но она ограничена и сверху, хотя верхняя граница находится дальше от среднего значения. На илл. 10 показано распределение массы тела взрослых мужчин в Соединенных Штатах на 2010 год. Этот график представляет собой нечто среднее между нормальным и логнормальным распределениями. Масса тела также принадлежит к миру Тихонии, даже если некоторые люди весят по 270 кг. Не следует считать вес таких людей чудом, так же как нельзя назвать состояние человека, имеющего миллионы долларов, чудесным богатством. Они попросту находятся на окраинах Тихонии. Это утверждение в целом соответствует истине, но, как мы увидим впоследствии, крайне большие доходы следует отнести к явлениям диконским.

Принцип Парето

Итальянский социолог и экономист Вильфредо Парето (1848–1923) также изучал распределение доходов, и именно он первым применил концепцию социальной элиты. Парето, вероятно, не был знаком с логнормальным распределением и поэтому попытался разработать для описания доходов свою собственную модель. Он получил формулу, дававшую относительно хорошее приближение наблюдаемого распределения крупных доходов, но доходам ниже среднего уровня она соответствовала хуже. По-видимому, этот недостаток его не беспокоил. Формула Парето не имеет ничего общего с формулой логнормального распределения, хотя в области больших значений кривая, которую она описывает, получается весьма похожей на кривую этого распределения.