Логика и аргументация: Учебн. пособие для вузов.

Разумеется, при переводе на символический язык утверждений естественного языка встречаются определенные трудности, но при этом достигается необходимая точность и однозначность выражения мысли. Нельзя, однако, думать, что формальный язык богаче естественного языка, на котором выражаются не просто смысл, но и разные его оттенки. Речь поэтому может идти только о более точном представлении выражений естественного языка как универсального средства выражения мыслей и обмена ими в процессе общения.

Чаще всего кванторы общности и существования встречаются вместе. Например, чтобы выразить символически утверждение: "Для каждого действительного числа х существует такое число у, что х будет меньше у", обозначим предикат "быть меньше" символом <, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Из самого определения кванторов общности и существования непосредственно следует, что между ними существует определенная связь, которую обычно выражают с помощью следующих законов.

1. Законы перестановки кванторов:

(х) (у) А ~ (у) (х) А;

(Ех) (Еу) А ~ (Еу) (Ех) А;

(Ех) (у) А ~ (у) (Ех) А;

2. Законы отрицания кванторов:

¬ (х) А ~ (Ех) ¬ А;

¬ (Ех) А ~ (х) ¬ А ;

3. Законы взаимовыразимости кванторов:

(х) А ~ ¬ (Ех) ¬ А;

(Ех) А ~ ¬ (х) ¬ А.

Здесь всюду А обозначает любую формулу объектного (предметного) языка. Смысл отрицания кванторов очевиден: если неверно, что для любого х имеет место А, тогда существуют такие х, для которых А не имеет места. Отсюда также следует, что если: любому х присуще А, тогда не существует такого х, которому было бы присуще не-А, что символически представлено в первом законе взаимовыразимости.

4.3. Исчисление предикатов

Построение исчисления предикатов осуществляется, с одной стороны, аналогично построению исчисления высказываний, а с другой - качественно отличается от него.

Сходство и даже связь между обоими исчислениями заключается, во-первых, в том, что значение, которое принимает пропозициональная функция (предикат) из универсума рассуждения, при соответствующих аргументах может быть либо истинным, либо ложным. Во-вторых, все логические связки (операторы), которые рассматривались в предыдущей главе - отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация - используются и в исчислении предикатов. Следовательно, для определения истинностного значения пропозициональной функции таблица истинности, с которой мы знакомы, может применяться в принципе и здесь, однако на практике такой способ оказывается крайне громоздким и неэффективным.

Прежде всего в исчислении предикатов используются кванторы. Кроме того, для определения истинности пропозициональной функции необходимо установить определенное соответствие между функцией и теми независимыми переменными (аргументами), которые составляют область ее определения (универсум рассуждения). Например, если универсум для отношения х < у составляет множество пар целых положительных чисел, то для определения значения истинности этого отношения необходимо установить соответствие (функцию) между любой парой чисел х и у из универсума и отношением х < у. Очевидно, что при х = 2 и у = 3 высказывание, полученное путем подстановки этих чисел в формулу, будет истинным, а при х=5 и у=3- ложным.

Функция, которая соотносит независимым переменным из ее универсума соответствующее значение истинности или ложности, называют логической, интерпретационной или семантической.

В общем случае, если предикат Р зависит от п индивидных (предметных) переменных, т.е. Р (x¹, х²,..., xⁿ), то каждой n-ке переменных из универсума семантическая функция будут соотносить значение "истина" или "ложь". Если n=0, мы получим отдельное, нерасчлененное высказывание (законы исчисления таких высказываний рассматривались в предыдущей главе). Следовательно, исчисление высказываний может быть получено в качестве частного случая исчисления предикатов, а тем самым устанавливается связь между ними. При n = 1, т.е. Р(х), предикат является свойством, при n = 2, 3, 4 получаем бинарные, тернарные и тому подобные отношения.

Поскольку в исчислении предикатов применяются кванторы, при определении истинностного значения пропозициональной функции необходимо установить процедуру для вычисления формул вида:

(х) А и (Ех) А,

где А, как обычно, обозначает любую формулу предметного языка.