Логика и аргументация: Учебн. пособие для вузов.

Впервые изучением логики отношений занялись математики, и ее основоположником считается английский математик и логик О. де Морган. Интерес к данной логике со стороны математиков вовсе не случаен, поскольку именно в этой науке встречаются самые разнообразные отношения (равенства, неравенства, подобия, между, включения, конгруэнтности, параллельности и т.д.). Такие отношения представлены в формулировке аксиом различных математических дисциплин, и поэтому для доказательства теорем необходимы точные определения тех логических операций, которые можно производить над отношениями.

С логической точки зрения отношения можно рассматривать как обобщение обычного предиката традиционной логики, выражающего свойства предметов. Если этот предикат характеризует один-единственный предмет или, как мы будем говорить в дальнейшем, объект, то в логике отношений он определяет отношение между разными объектами. Так, когда мы говорим, что число 5 больше, чем 3, то тем самым устанавливаем между ними отношение "больше" по величине.

Отношение между двумя объектами называют бинарным, (двучленным), между тремя - тернарным и т.д. Объекты, которые заполняют эти места, характеризуют соответствующий предикат.

Символически это представляется так:

Р (x₁ , x₂ ,..., х_n ),

где Р обозначает предикат, a x₁ , x₂ ,..., х_n - соответствующие объекты. Если n = 0, тогда предикат будет нерасчлененным высказыванием, которое рассматривалось в предыдущей главе, при n = 1 предикат представляет свойство, при n = 2 - бинарное отношение, при n = 3 - тернарное отношение и т.д.

С логико-математической точки зрения предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию. В отличие от математических функций, где аргументами служат числа и другие математические объекты, в пропозициональной функции аргументами являются только высказывания. Если такой предикат выражает свойство, например "быть студентом", то, подставив вместо аргумента х фамилии разных лиц, мы получим различные высказывания, истинные и ложные, т.е., если Иванов действительно студент, то он будет удовлетворять функции Р(х), где Р обозначает свойство "быть студентом". Аналогично, если Ч(х) обозначает свойство "быть четным числом", то число 4 удовлетворяет этой функции, а число 5 - нет. Обратите внимание, что в этом случае вместо обычных чисел аргументами служат высказывания о числах.

Предикат Р(х,у) является пропозициональной функцией от двух аргументов и выражает бинарное отношение между двумя объектами, например "Москва южнее, чем С.-Петербург". В данном случае предикат Р обозначает отношение "быть южнее". Если вместо "Москвы" взять "Мурманск", то получится ложное высказывание. Отсюда становится ясно, что предикат или пропозициональная функция сами по себе не являются высказываниями, и потому не могут считаться ни истинными _ни ложными. Они становятся истинными или ложными высказываниями после того, как вместо их аргументов подставляются конкретные высказывания. Такой функциональный подход к предикатам дает возможность обращаться с ними как со специальными видами функций, аргументами которых являются не математические, а логические объекты, а именно высказывания.

Объектами же рассуждений могут быть самые разнообразные предметы как реального, так и идеального мира, события, явления, процессы. Предикаты, которые их характеризуют, в принципе позволяют выделить класс (или множество) этих объектов. Такой класс в логике называют универсумом рассуждения. Например, универсумом рассуждений в арифметике является множество чисел, в химии- различные химические элементы, простые и сложные вещества, в которые они входят, в биологии - живые организмы, в социальных науках- группы, коллективы, классы людей и соответствующие общественные структуры. Логика не изучает и не определяет универсумы конкретных видов рассуждений. Это составляет задачу конкретных наук. Поэтому в логическом анализе такие универсумы предполагаются заданными.