Логика неудачи. Книга о стратегическом мышлении в сложных ситуациях

10 % – это значительно меньше, чем 30 %. Однако увеличение количества пациентов со СПИДом с 10 до 40 заболевших означает прирост 300 %, тогда как увеличение с 2500 до 2750 – то есть 250 новых заболевших – означает прирост лишь 10 %. Таким образом, низкие темпы прироста вполне совместимы с высоким числом заболевших. Это банально, но некоторым приходится это объяснять.

Кроме того, важно обратить внимание на то, что замедление темпов прироста при распространении эпидемии должно наступить, и притом без всякого изменения в степени заразности и в поведении населения! Это связано просто с растущим числом инфицированных (которые не могут быть повторно инфицированы). Рисунок 35 показывает, как распространялся бы СПИД в вымышленной популяции из 1000 человек, 20 % из которых ежемесячно меняют партнеров.

Рис. 35. Распространение СПИДа в вымышленной стабильной популяции из 100 человек в соответствии с формулой (1)

Вероятность того, что кто-то в этой популяции заразится по причине совместной жизни с больным СПИДом, составляет 0,8. Рост числа инфицированных в этом случае можно рассчитать по следующей формуле:

(1) НСЗ = ИСЗ/(Н – 1) × (Н – ИСЗ) × П × ВЗ,

где

НСЗ – новые случаи заражения;

ИСЗ – уже имеющиеся случаи заражения;

Н – численность населения;

П – относительная частота смены партнеров среди населения (то есть П=0,2 означает, что 20 % населения ежемесячно ищут и находят новых половых партнеров);

ВЗ – вероятность того, что человек, проживающий с инфицированным партнером, заразится сам.

Начнем с инфицированных. Через месяц мы имеем 1 + + (1/999) × 999 × 0,2 × 0,8 = 1,16 инфицированного, через два месяца – 1,16 + (1,16/999) × 998,84 × 0,2 × 0,8 = 1,3455, через три месяца – 1,5607 и т. д. (Разумеется, дробного количества инфицированных никогда не бывает. Приведенные десятичные дроби лучше всего рассматривать как средние значения.)

При помощи формулы (1) можно определить количество новых инфицированных в каждый момент времени. (Конечно, в этой формуле имеется ряд допущений, которые необязательно считать правильными. К примеру, допускается, что выбор партнера при его поиске бывает совершенно случайным и среди населения не имеется субпопуляций с определенными предпочтениями.)

Если численность населения остается совершенно неизменной, как все прочие параметры, то согласно формуле (1) со временем рост числа заболевших подчиняется логистической функции. Формула ее выглядит так:

(2) у = 1 / (1 – exp [—a × (t_h – t)]),

a в этой формуле означает «крутизну» прироста, а t_h – время, когда заражается половина населения. Мы не будем подробно останавливаться на точных взаимосвязях между формулами (1) и (2).

В целом число инфицированных растет согласно кривой, показанной на рисунке 35. Мы видим, что в этой простой модели число инфицированных быстро растет и в конечном итоге, после все большей концентрации, становится меньше. Однако темп увеличения заболеваемости (пунктирная кривая П), как мы видим, постоянно снижается. Сначала он составляет 16 %, однако примерно к 35-му месяцу начинает резко падать, чтобы примерно к 80-му месяцу достичь 0.

Темпы роста заболеваемости в процентах вычисляются по следующей формуле:

(3) ТП = (НСЗ / ИСЗ) × 100.

Кажется, что расчет темпов увеличения заболеваемости не представляет трудностей, однако здесь имеется несколько каверзных моментов, которые нужно принимать во внимание, чтобы верно оценить снижающиеся значения. Предположим, что в 1983 году был открыт метод диагностики СПИДа. Тогда в этом году обнаружилось бы определенное количество случаев заболевания – скажем, 16. В следующем году, возможно, обнаружили бы еще 18 новых случаев – всего их было бы 34. Значит, темпы роста заболеваемости составляют (18 /16) × 100 = 112,5 %? Или нет?

«Настоящие» темпы роста заболеваемости могут быть гораздо ниже. Ведь то, что в 1983 году СПИД начали диагностировать, ни в коем случае не означает, что на тот момент не имелось уже заболевших этим недугом людей. Они точно были, но болезнь у них распознавали редко или вообще никогда. Предположим, что к 1982 году у нас было в общей сложности 100 случаев заболевания и что 16 случаев, обнаруженных в 1983 году, – это только новые случаи заболевания. Тогда темпы роста заболеваемости в 1984-м составили не 112,5 %, а всего лишь 15,51 %. Разницу между этими показателями не назовешь незначительной. Неверно предполагать, что темпы роста заболеваемости составляют 112 %, когда фактически они не дотягивают до 16 %: это самое настоящее заблуждение!