Логика. Учебное пособие

Эквивалентное суждение или эквиваленция – это сложное суждение с союзом «если… то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентом). В данном случае этот союз обозначается условным знаком ↔, с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы а ↔ в (читается «если а, то в, и если в, то а»), где а и в – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Если число является четным, то оно делится без остатка на 2 представляет собой эквивалентное суждение или эквиваленцию (равенство, тождество) двух простых суждений:

1. Число является четным.,

2. Число делится без остатка на 2.

Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число четное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно четное. Понятно, что в эквиваленции, в отличие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, т. к. две ее части являются равнозначными суждениями.

Отрицательное суждение или отрицание – это сложное суждение с союзом «неверно, что…», который обозначается условным знаком ¬. С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы ¬а (читается «неверно, что а»), где а – это какое-либо простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос – где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом в? В записи ¬а уже присутствуют два простых суждения: а – это какое-то утверждение, а знак ¬ – это его отрицание, т. е. перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое – отрицательное. Пример отрицательного суждения: Неверно, что все мухи являются птицами.

2.11. Истинность сложных суждений

В предыдущем параграфе мы рассмотрели шесть видов сложных суждений, которые состоят из простых суждений, объединяемых каким-либо союзом: конъюнкцию, дизъюнкцию нестрогую и дизъюнкцию строгую, импликацию, эквиваленцию и отрицание.

Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным шести видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение: Уж полночь близится, а Германа все нет является конъюнкцией, потому что в нем союз «а» употребляется в роли соединительного союза «и». Сложное суждение, в котором вообще нет союза: Посеешь ветер, пожнешь бурю является импликацией, т. к. два простых суждения в нем связаны по смыслу условным союзом «если…то».

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Ниже приведена таблица истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений. Таких наборов всего четыре:

1. оба простых суждения истинные;

2. первое суждение истинное, а второе ложное;

3. первое суждение ложное, а второе истинное;

4. оба суждения ложные.

Как видим, конъюнкция (а ∧ в) истинна только тогда, когда истинны оба простых суждения, входящих в нее. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в нее суждения. Во всех остальных случаях она является ложной. Нестрогая дизъюнкция (а ⋁ в), наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в нее простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в нее простые суждения. Строгая дизъюнкция (а ⊻ в) истинна только тогда, когда одно входящее в нее простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в нее простых суждений, а все остальные ложны. Импликация (а → в) ложна только в одном случае, – когда ее основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна. Эквиваленция (а ↔ в) истинна тогда, когда два составляющих ее простых суждения истинны или же, когда они оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна. Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение (а) истинно, его отрицание (¬а) ложно; когда утверждение (а) ложно, его отрицание (¬а) истинно.

2.12. Формализация рассуждений