Уильям Томсон в речи, произнесенной в связи с вручением ему ордена Почетного легиона в 1881 году
Лиувилль попросил Томсона написать статью, проясняющую этот вопрос, и тот смог доказать, что между обоими представлениями об электрической силе нет противоречий. В случае с двумя взаимодействующими зарядами, как доказал Томсон, силовые линии располагаются симметрично вокруг прямой, соединяющей оба заряда, так что интенсивность силы, возникающей между ними, определяется законом Кулона. В случае взаимодействия с более сложной геометрией также нет никаких расхождений. С кулоновской точки зрения итоговое взаимодействие задано суммой взаимодействий между парами зарядов. Согласно Фарадею, каждый из этих отдельных зарядов производит помеху в пространстве, которая представлена силовыми линиями, так что сила, действующая на каждый заряд, связана с этой помехой.
В этой работе Уильям также подошел к специфической проблеме вычисления распределения электричества, производимого бесконечно распространенной проводящей плоскостью и электрическим зарядом, расположенным вблизи этой плоскости. Он решил эту задачу тремя разными способами и послал их Лиувиллю. В первом способе он воспользовался методом, введенным английским физиком и математиком Джорджем Грином (1793-1841), о котором впервые узнал из работы британского математика Роберта Мерфи (1806-1843), появившейся в 1832 под заглавием «об обратном методе определенных интегралов». До отъезда в Париж Уильям безуспешно искал работу Грина «Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма», которая была опубликована в 1828 году. К его удивлению, преподаватель математики Уильям Хопкинс, готовивший его к трайпосу, подарил ему в день отъезда во Францию два экземпляра книги Грина.