Лорд Кельвин. Классическая термодинамика

Предположим, что f(t) — периодическая функция с периодом T, как показано на рисунке 1. Речь идет о простой функции, которая выполняет это условие периодичности: функция повторяется до бесконечности через период T. Этот тип функций может быть выражен с помощью того, что в математике называют рядом Фурье, то есть суммой бесконечного числа членов, представляющих собой синусы и косинусы:

Коэффициенты этого ряда заданы

Теперь рассмотрим функции

которые получаются из ряда Фурье сложением до Nmax членов. Итак, наши новые функции представляют собой последовательные приближения к функции f(t) по мере увеличения значения Nmax. На рисунках 2-4 можно видеть функции, соответствующие значениям Nmax = 1, 3 и 5, — они нарисованы тонкой линией. Если сейчас мы обратим внимание на значения коэффициентов ak и bk ряда, то можно доказать, что в случае с интересующей нас функцией отличаются от нуля только коэффициенты а₀ = A и bk = = 2А/(kπ), если k нечетное, где A — амплитуда функции f(t). То есть ряд Фурье имеет вид

Как видно, в этом случае остаются только члены, включающие в себя синусы, в то время как все члены с косинусами равны нулю. Если сейчас мы вспомним, что

то предыдущий ряд Фурье можно записать как

то есть в нем останутся только члены, включающие косинусы.

РИС 1

РИС 2

РИС 3

РИС 4

УЧЕБА В КЕМБРИДЖЕ

В конце октября 1841 года Томсон приехал в колледж святого Петра в Кембридже для получения математического образования. Однако интересы юноши не ограничивались наукой. Он способствовал созданию Кембриджского университетского музыкального общества и сам играл на трубе на первом концерте оркестра этой группы в декабре 1843 года. Также Уильям занимался греблей и входил в состав университетской команды на регате 1844 года.

Зная об этом, его отец опасался, что Уильям будет слишком отвлекаться от учебы, отдавая предпочтение спорту, музыке и другим развлечениям, доступным в Кембридже. Действительно, многие студенты университета участвовали в праздниках, находили друзей, заводили полезные связи, занимались спортом - словом, тратили время на что угодно, только не на учебу. В отличие от них, Томсону такой отдых помогал «прояснить разум», и об учебе юноша никогда не забывал.

Однако отец не терял бдительности и внимательно следил за тем, чтобы Уильям не сбился с пути истинного. Как-то раз юноша написал отцу, что приобрел подержанную лодку, однако в ответ получил выговор за то, что сделал это не посоветовавшись. Отец просил вернуть лодку владельцу и забрать уплаченные за нее деньги. Также в этом письме можно прочитать следующее:

«Мне кажется, я уже говорил тебе, чтобы ты время от времени присылал мне отчеты о своих расходах. Любое объяснение, кроме самых важных, может подождать до личной встречи. [...] Будь респектабельным, но экономным. [... ] Ты молод: будь осторожен, как бы не пойти по неверному пути. Один ложный шаг сейчас, одна приобретенная вредная привычка - и это может сломать всю твою жизнь. Думай о своем поведении как можно чаще и проявляй мудрость».

Однако Томсон очень хорошо воспользовался своим временем в Кембридже, и доказывает это его исследовательская деятельность в годы учебы. Несмотря на то что он был всего лишь студентом, Уильям опубликовал в «Кембриджском математическом журнале» 12 статей, большинство которых были посвящены физико-математическим методам, введенным Фурье с целью приблизить физику к экспериментально установленным фактам.