Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Фалес величаво шагнул в колодец. Услышав плеск воды и последовавший, возможно, почти в ту же секунду испуганный крик «Всё есть вода!», слуга-фракиец вытащил философа из колодца, слегка поддразнивая, что тому не следовало бы засматриваться на происходящее в небе, если не замечает, что находится у его ног.

В других пересказах колодец превращается в простую канаву, а непочтительный слуга – в старую женщину. Но вверимся лучше авторитету Платона, у которого прислуга была молода и красива. Поверим, что это была она и что Фалес, когда она выловила мудреца, вознаградил ее должным образом. Из всех неизвестных нам женщин, живших в VI веке до н. э., я хотел бы узнать имя той фракийской служанки.

Глава 7 Не много, но достаточно

Небольшой по количеству, но насыщенный бесчисленными возможностями вклад Фалеса в математику оказался достаточен, чтобы зародилась наука о числах, просуществовавшая с VI века до н. э. до наших дней. Внедрение дедуктивного метода в элементарную геометрию уже было упомянуто, и некоторое время спустя мы рассмотрим метод в деталях.

Другим имевшим решающее значение нововведением стало намеренное абстрагирование или идеализация информации, полученной в результате наблюдений, для установления чистой идеи. Это, до некоторой степени пугающее описание очень простого процесса, базового для математики, науки и философии, будет рассмотрено прежде всего. Это необходимо для более полного осознания того, что принято называть знаниями или мудростью как в древности, так и теперь.

Абстрактный контрпример, как он подается в элементарной геометрии, может показать главные аспекты значительно четче, чем описание всего процесса. В 1890-х годах один своеобразный педагог выпустил учебник по элементарной геометрии, основанный на новых принципах. Его достойная цель состояла в том, чтобы сделать геометрию не только понятной для начинающих, но и доступной, как чтение газеты. Он преуспел настолько, что никто совсем ничего не мог понять. Новизна его подхода состояла в следующем: прямые линии имеют определенную и измеряемую толщину. Это, как уверял он, чистый факт каждодневного бытия. Даже самый отсталый наблюдатель в состоянии увидеть это, настаивал он, раз об этом указано. «Прямая линия», проведенная куском мела на доске, отмечал он, иногда столь же широка, что и человеческий палец, а самая дешевая линза превратит едва видимые «прямые» царапины на оконном стекле в корявые желоба.

Проблемы возникли, когда буквоеды-подростки начали шумно требовать рассказать им, сколько раз нужно расщеплять волос, чтобы получился пучок правильных линий. Подходит ли для этих целей конский волос, или нужно воспользоваться волосом из девичьего хвоста? И далее в том же духе, пока несчастный автор новой геометрии не оказался на грани от потери рассудка. Доведенный до крайности, уже пересекая порог сумасшедшего дома, этот человек, обманутый в своих надеждах, продолжал кричать, что все линии существуют только в уме геометров и что он бросил вызов всем математикам в мире, несогласным с ним. Своим дерзким вызовом ортодоксальности новый геометр задекларировал факт, который ни один математик, кроме, возможно, тех, кто придерживался реалистичных позиций в духе Платона, не стал бы оспаривать. Фалес, как предполагают, был все-таки первым из тех, кто придумал нечто абсолютно противоположное тому, чему собирался учить революционно настроенный педагог. След мела, царапины, расщепленные волосы и все иные бесчисленные, поддающиеся чувственному восприятию «прямые линии» обозначает некая абстрактная прямая линия – «длина без ширины», как самая простая идеализация их всех. Эта прямая линия геометров не существует в материальном мире. Это чистая абстракция, плод воображения или, если кому-то нравится, мысль вселенского разума. И нет необходимости выискивать недостатки типа какой ширины прямая линия, поскольку словосочетание «ширина линии» больше не имеет значения.

Этот процесс очищения повседневного опыта и абстрагирования от него, то есть выделения общей концепции, позволил создать математику, механику и теоретическую физику. Такой подход вдохновил Платона на его возвышенную мистическую философию. Геометрия линий не имеет привязки к той или иной «линии» из так называемого чувственного опыта, она связана исключительно с конкретными определениями и постулатами касательно идей или гениальных провидений, несущих пользу науке и математике, и действительна для всех типов линий, детерминированных данными определениями и постулатами.