Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Всеми, кто верит, что математика и логика есть плоды человеческого сознания, и необходимость и универсальность воспринимаются лишь как преходящие признаки. Сторонники теории о том, что числа были скорее найдены, чем изобретены, обнаруживают в математике бесспорное доказательство существования высшего и вечного разума, наполняющего вселенную. Первые чтут в математике гибкость и способность меняться, последние видят в математике откровение постоянства в бесконечности пространства, все несовершенство которого вносится лишь неадекватностью человеческого восприятия. По мере продвижения в направлении более ясного осознания бесконечности несовершенство пропадет, и математика засияет ярче, как безупречное олицетворение вечной истины.

Первые признаки того, что в VI веке до н. э. появление подобного учения было вполне разумно и возможно, видны на примере полудюжины простых утверждений о прямых линиях и окружностях; и, как гласят предания, Фалес некоторые из них даже доказал. Если прямая линия проходит через центр окружности, она делит окружность на две равные во всех отношениях части.

Или, например, если две стороны треугольника равны, то углы, противоположные равным сторонам, тоже равны. Эти два утверждения подтверждаются при начертании соответствующих фигур, и точно так же очевидна правота другого утверждения: если две прямые линии пересекаются, противоположные углы в точке пересечения попарно равны. Просто внимательно взглянув на чертеж, видим «истину» данного утверждения в геометрии. А если еще немного поразмышляем, то «увидим», что данные выводы не проистекают из каких-либо чисел, которые можно было бы «притянуть» к этому, но, по-видимому, сохраняют справедливость по отношению к любой окружности, любому равнобедренному треугольнику, любой паре пересекающихся прямых линий, которые только в состоянии представить человек. И это означает, что в своей области эти «утверждения» универсальны. Почему? Кто-то скажет, что это вопрос терминологии. Другие найдут утешение в утверждении, что «универсальность» абстрактных линий – это проявление высшего разума.

Четвертое утверждение практически равнозначно: если четырехугольник вписан в окружность, каждая из его диагоналей проходит через центр окружности. Этот вывод, надо признать, не производит сильного впечатления. Но, поданный в иной равнозначной формулировке, он становится, по признанию многих, самой красивой теоремой элементарной геометрии: угол, вписанный в полуокружность, есть прямой угол. Инвариантность, неизменность угла, вне зависимости от места вершины угла на полуокружности, восхищала Данте.

Каждое из приведенных четырех утверждений становится интуитивно очевидным, что явствует в процессе исследования простой фигуры, вроде тех, что ребенок играючи способен нарисовать на поверхности. Все четыре могли быть известны задолго до VI века до н. э., когда впервые в истории их внимательно рассмотрели, но не глазами безучастного ребенка, а пристальным взглядом мудрого человека.

Подобно многим, видевшим справедливость данных утверждений, Фалес также полагал, что очевидность эта интуитивная в смысле видимой «истины». Далее, вполне вероятно, он стал сомневаться в неизбежности столь простых истин в геометрии. Что мы подразумеваем, когда говорим: утверждение о фигуре, составленной из прямых линий, справедливо? Если Фалес и не так формулировал вопрос самому себе или никак его не формулировал, дальнейшее его поведение свидетельствует, что он все-таки сомневался. О действиях Фалеса нам придется судить по записям греческих историков, составивших эти записи много позже того времени, когда Фалеса уже не волновали проблемы прямых линий и окружностей. Историки немногословны, вплоть до неясности, но важно, что именно Фалес ввел абстракцию и доказательства в изучение линий как прямых, так и изогнутых. Доказательство придало значимость справедливости утверждений, как только оно появилось в геометрии. И позволило Платону и его ученикам вообразить, будто они дали смысл доказательству.

Геометрия Египта и Вавилонии еще не оторвалась от своих сугубо утилитарных корней, когда Фалес привез ее в Грецию. Она продолжала в основном заниматься эмпирическими правилами исчисления площадей и объемов.

Предположение о паре равных углов, созданных двумя пересекающимися прямыми линиями, едва ли пришло бы в голову практичным умам, занятым строительством пирамид и рытьем каналов. И все же это предположение часто требуется при доказательстве других предположений, которые ни очевидны, ни бесполезны. Это справедливо и для идеальных абстрактных линий в геометрии, не предназначенных для простых практичных умов, которые не воспринимают их серьезно. В переходе от конкретики чувственного опыта к абстракции идеальных конструкций Фалес совершил прорыв в вечность, опередив своих современников на тысячи лет и целую вселенную.